库拉托斯基定理英文解释翻译、库拉托斯基定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kuratowski's theorem

分词翻译：

库的英语翻译：

storeroom; warehouse
【计】 libraries; library
【医】 bank
【经】 library

拉的英语翻译：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【机】 pull; tension; tractive

托的英语翻译：

entrust; hold in the palm; plead; set off; sth. serving as a support
【化】 Torr
【医】 pad; support

斯的英语翻译：

this
【化】 geepound

基的英语翻译：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【医】 base; basement; group; radical

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

库拉托斯基定理（Kuratowski's Theorem）是图论中判定平面图的核心定理，其汉英对照表述及详细解释如下：

一、定理内容（中英对照）

中文表述：
一个图是平面图当且仅当它不包含同胚于 ( K5 )（完全五阶图）或 ( K{3,3} )（完全二分图）的子图。

英文表述：
A graph is planar if and only if it contains no subdivision of ( K5 ) or ( K{3,3} ).

二、关键概念解析

平面图（Planar Graph）
指可嵌入二维平面且边仅在顶点处相交的图。例如，树结构、网格图均为平面图。

同胚（Subdivision）
指通过在原图的边上添加新顶点（“细分”边）得到的图。若图 ( G ) 包含 ( K5 ) 或 ( K{3,3} ) 的细分副本，则 ( G ) 必然非平面。

禁图结构（Forbidden Subgraphs）
- ( K_5 )：5个顶点两两相连的完全图（共10条边）。
- ( K_{3,3} )：两组各3个顶点构成的完全二分图（所有顶点对跨组相连，共9条边）。
  这两类结构因交叉点无法消除而成为非平面图的本质特征。

三、定理的拓扑学意义

库拉托斯基定理通过有限禁图（仅 ( K5 ) 和 ( K{3,3} )）刻画了平面图的拓扑性质。其等价表述为：

图 ( G ) 可平面嵌入 (iff G) 不含 ( K5 ) 或 ( K{3,3} ) 的拓扑极小式（topological minor）。
该结论揭示了图的空间嵌入性质仅由局部结构决定，为图的可平面性提供了简洁判据。

四、应用与权威参考

算法设计：基于该定理的平面性检测算法（如Hopcroft-Tarjan算法）复杂度为 ( O(n) )（( n ) 为顶点数）。
工程实例：集成电路布线、交通网络规划中需规避 ( K5 ) 和 ( K{3,3} ) 结构以确保布局无交叉。

权威参考文献：

Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory. Springer. （定理标准表述与证明）
Diestel, R. (2017). Graph Theory (5th ed.). Springer. （拓扑图论视角的扩展讨论）
Harary, F. (1969). Graph Theory. Addison-Wesley. （经典禁图结构分析）

库拉托斯基定理以波兰数学家卡齐米日·库拉托斯基（Kazimierz Kuratowski）命名，是图论连接拓扑学的里程碑成果，其禁图分类思想深刻影响了后续的图子式理论（Graph Minor Theorem）发展。

网络扩展解释

库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）是图论中关于平面图判定的核心定理，由波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）于1930年提出。以下是该定理的详细解释：

定理定义

一个无向图是平面图（即可以画在平面上且边不交叉）的充分必要条件是：
它不包含与完全图$K5$或完全二分图$K{3,3}$的细分同构的子图。

关键概念解析

平面图
平面图是指能够嵌入平面，使得边仅在顶点处相交的图。例如，树形结构、简单回路等均为平面图。
非平面图的极小结构
- $K_5$：包含5个顶点的完全图（每对顶点间均有边连接）。
- $K_{3,3}$：完全二分图，两组各3个顶点，且每组顶点与另一组所有顶点相连（如公共设施与房屋的连通问题）。
细分（Subdivision）
对图的一条边进行细分，指在边中插入新的顶点，将原边分割为多条边。例如，边$e=(u,v)$插入顶点$w$后变为两条边$(u,w)$和$(w,v)$。
同构（Isomorphism）
若两个图可通过重命名顶点完全匹配，则称它们同构。定理要求子图与$K5$或$K{3,3}$的细分图同构。

定理的意义

判定平面图：通过检查图中是否存在$K5$或$K{3,3}$的细分结构，快速判断图的平面性。
拓扑学应用：在电路板布线、地图着色、网络拓扑优化等领域有重要价值。

示例说明

非平面图案例：
- 若图中存在类似$K_5$的结构（即使边被多次细分），则无法在平面上无交叉绘制。
- 例如，经典的“三间房屋连接三个公共设施”问题对应的$K_{3,3}$图必为非平面图。

注意事项

定理局限性：虽然定理提供了判定方法，但实际应用中可能需要结合算法（如平面性测试算法）提高效率。
术语混淆：需注意与组合数学中的“库拉斯基定理”（涉及排列组合计算）区分。

如需进一步了解细分操作或定理证明步骤，可参考图论教材或平面图算法相关文献。