宾纳一柯西定理英文解释翻译、宾纳一柯西定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Binet-Cauchy theorem

分词翻译：

宾的英语翻译：

guest

纳的英语翻译：

accept; admit; receive
【计】 nano

一的英语翻译：

a; an; each; one; per; same; single; whole; wholehearted
【医】 mon-; mono-; uni-

柯西的英语翻译：

【计】 Cauchy

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

宾纳一柯西定理（Binet-Cauchy Theorem）是线性代数中的一个重要结论，用于计算两个矩阵乘积的行列式。该定理特别适用于处理非方阵相乘的情况。以下是基于汉英词典视角的详细解释：

一、术语解释

中文名称
宾纳一柯西定理（又称柯西-宾纳公式）

英文对照：Binet-Cauchy Theorem / Cauchy-Binet Formula
核心定义
设 ( A ) 为 ( m times n ) 矩阵，( B ) 为 ( n times m ) 矩阵（( m leq n )），则乘积 ( AB ) 的行列式满足：

$$ det(AB) = sum_{S} det(A_S) det(B_S) $$

其中 ( S ) 取遍 ( {1,2,ldots,n} ) 的所有 ( m )-元子集，( A_S ) 表示 ( A ) 中由 ( S ) 索引的列构成的子矩阵，( B_S ) 表示 ( B ) 中由 ( S ) 索引的行构成的子矩阵。

二、数学表述与应用

适用场景
- 当 ( m = n ) 时，退化为 ( det(AB) = det(A)det(B) )；
- 当 ( m > n ) 时，( det(AB) = 0 )（因秩不足）。
几何意义
定理本质描述了高维空间线性变换的“体积缩放因子”。例如，若 ( A ) 和 ( B ) 分别表示子空间投影，则 ( det(AB) ) 量化了投影后超平行体的体积变化。

三、权威参考来源

学术著作
- 《Matrix Analysis》（Horn & Johnson, Cambridge University Press）第4章详细推导该定理，并讨论其在广义逆矩阵中的应用。
- 《Linear Algebra Done Right》（Axler, Springer）通过外代数框架给出几何化证明。
公开课程资源
麻省理工学院《线性代数》公开课（MIT OpenCourseWare 18.06）在"行列式与体积"章节中阐释其物理意义（课程资料可公开获取）。
数学百科
Wolfram MathWorld 和 Encyclopedia of Mathematics 均收录严谨的公式表述及历史背景，后者注明该定理由柯西（1840）与宾纳（1812）分别独立发现。

四、实际应用领域

统计学：计算协方差矩阵的行列式以评估多元正态分布的独立性；
控制理论：分析线性系统传递函数的稳定性条件；
组合数学：证明矩阵树定理（Matrix-Tree Theorem）的核心工具。

注：因定理表述涉及组合求和与子矩阵操作，建议结合具体算例理解。例如取 ( A = begin{bmatrix} 1 & 02 & -1 end{bmatrix} ), ( B = begin{bmatrix} 3 & 10 & 2 end{bmatrix}^T )，可验证 ( det(AB) = det(A)det(B) ) 的特殊情形。

网络扩展解释

宾纳-柯西定理（Binet-Cauchy定理）是线性代数中关于矩阵乘积行列式计算的重要定理，主要适用于非方阵的特定情况。以下是详细解释：

定理内容

若矩阵$P$为$m times n$矩阵，矩阵$Q$为$n times m$矩阵，且满足$m leq n$，则乘积矩阵$PQ$的行列式可通过以下规则计算： $$ det(PQ) = sum_{1 leq i_1 < i_2 < dots < im leq n} det(P{i_1,i_2,dots,i_m}) cdot det(Q^{i_1,i_2,dots,i_m}) $$ 其中：

$P_{i_1,i_2,dots,i_m}$表示从$P$中选择第$i_1,i_2,dots,i_m$列构成的$m times m$子矩阵；
$Q^{i_1,i_2,dots,i_m}$表示从$Q$中选择对应的第$i_1,i_2,dots,i_m$行构成的$m times m$子矩阵；
求和遍历所有可能的$m$列/行组合。

关键点

适用条件：仅当$P$和$Q$的维度满足$m leq n$时成立，否则行列式为0（因$PQ$此时为降秩矩阵）。
几何意义：该定理将高维空间中的体积计算分解为低维子空间体积的组合，反映了行列式的几何本质。
特殊情形：当$m=n$时，退化为$det(PQ)=det(P)det(Q)$，即常规方阵行列式乘积性质。

应用场景

组合数学：计算复合映射的生成函数；
微分几何：处理高维流形上的积分；
工程计算：简化大规模矩阵运算，如信号处理中的子空间分析。

例如，若$P=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}$，$Q=begin{pmatrix}e&fg&hend{pmatrix}$，则$det(PQ)=aecdot dh + bgcdot cf - afcdot dg - becdot ch$，符合定理展开形式。

如需完整公式推导或更多案例，可参考知网等学术资源。