賓納一柯西定理英文解釋翻譯、賓納一柯西定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Binet-Cauchy theorem

分詞翻譯：

賓的英語翻譯：

guest

納的英語翻譯：

accept; admit; receive
【計】 nano

一的英語翻譯：

a; an; each; one; per; same; single; whole; wholehearted
【醫】 mon-; mono-; uni-

柯西的英語翻譯：

【計】 Cauchy

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

賓納一柯西定理（Binet-Cauchy Theorem）是線性代數中的一個重要結論，用于計算兩個矩陣乘積的行列式。該定理特别適用于處理非方陣相乘的情況。以下是基于漢英詞典視角的詳細解釋：

一、術語解釋

中文名稱
賓納一柯西定理（又稱柯西-賓納公式）

英文對照：Binet-Cauchy Theorem / Cauchy-Binet Formula
核心定義
設 ( A ) 為 ( m times n ) 矩陣，( B ) 為 ( n times m ) 矩陣（( m leq n )），則乘積 ( AB ) 的行列式滿足：

$$ det(AB) = sum_{S} det(A_S) det(B_S) $$

其中 ( S ) 取遍 ( {1,2,ldots,n} ) 的所有 ( m )-元子集，( A_S ) 表示 ( A ) 中由 ( S ) 索引的列構成的子矩陣，( B_S ) 表示 ( B ) 中由 ( S ) 索引的行構成的子矩陣。

二、數學表述與應用

適用場景
- 當 ( m = n ) 時，退化為 ( det(AB) = det(A)det(B) )；
- 當 ( m > n ) 時，( det(AB) = 0 )（因秩不足）。
幾何意義
定理本質描述了高維空間線性變換的“體積縮放因子”。例如，若 ( A ) 和 ( B ) 分别表示子空間投影，則 ( det(AB) ) 量化了投影後超平行體的體積變化。

三、權威參考來源

學術著作
- 《Matrix Analysis》（Horn & Johnson, Cambridge University Press）第4章詳細推導該定理，并讨論其在廣義逆矩陣中的應用。
- 《Linear Algebra Done Right》（Axler, Springer）通過外代數框架給出幾何化證明。
公開課程資源
麻省理工學院《線性代數》公開課（MIT OpenCourseWare 18.06）在"行列式與體積"章節中闡釋其物理意義（課程資料可公開獲取）。
數學百科
Wolfram MathWorld 和 Encyclopedia of Mathematics 均收錄嚴謹的公式表述及曆史背景，後者注明該定理由柯西（1840）與賓納（1812）分别獨立發現。

四、實際應用領域

統計學：計算協方差矩陣的行列式以評估多元正态分布的獨立性；
控制理論：分析線性系統傳遞函數的穩定性條件；
組合數學：證明矩陣樹定理（Matrix-Tree Theorem）的核心工具。

注：因定理表述涉及組合求和與子矩陣操作，建議結合具體算例理解。例如取 ( A = begin{bmatrix} 1 & 02 & -1 end{bmatrix} ), ( B = begin{bmatrix} 3 & 10 & 2 end{bmatrix}^T )，可驗證 ( det(AB) = det(A)det(B) ) 的特殊情形。

網絡擴展解釋

賓納-柯西定理（Binet-Cauchy定理）是線性代數中關于矩陣乘積行列式計算的重要定理，主要適用于非方陣的特定情況。以下是詳細解釋：

定理内容

若矩陣$P$為$m times n$矩陣，矩陣$Q$為$n times m$矩陣，且滿足$m leq n$，則乘積矩陣$PQ$的行列式可通過以下規則計算： $$ det(PQ) = sum_{1 leq i_1 < i_2 < dots < im leq n} det(P{i_1,i_2,dots,i_m}) cdot det(Q^{i_1,i_2,dots,i_m}) $$ 其中：

$P_{i_1,i_2,dots,i_m}$表示從$P$中選擇第$i_1,i_2,dots,i_m$列構成的$m times m$子矩陣；
$Q^{i_1,i_2,dots,i_m}$表示從$Q$中選擇對應的第$i_1,i_2,dots,i_m$行構成的$m times m$子矩陣；
求和遍曆所有可能的$m$列/行組合。

關鍵點

適用條件：僅當$P$和$Q$的維度滿足$m leq n$時成立，否則行列式為0（因$PQ$此時為降秩矩陣）。
幾何意義：該定理将高維空間中的體積計算分解為低維子空間體積的組合，反映了行列式的幾何本質。
特殊情形：當$m=n$時，退化為$det(PQ)=det(P)det(Q)$，即常規方陣行列式乘積性質。

應用場景

組合數學：計算複合映射的生成函數；
微分幾何：處理高維流形上的積分；
工程計算：簡化大規模矩陣運算，如信號處理中的子空間分析。

例如，若$P=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}$，$Q=begin{pmatrix}e&fg&hend{pmatrix}$，則$det(PQ)=aecdot dh + bgcdot cf - afcdot dg - becdot ch$，符合定理展開形式。

如需完整公式推導或更多案例，可參考知網等學術資源。