连续区间函数英文解释翻译、连续区间函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 continuous interval function

分词翻译：

连续区的英语翻译：

【化】 continuum

间的英语翻译：

among; between; separate; sow discord; space
【化】 meta-
【医】 dia-; inter-; meta-

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在数学分析中，"连续区间函数"指在给定区间内每一点都连续的函数。以下是中英文对照的详细解释：

一、中文术语解析

连续区间函数 = "连续" + "区间" + "函数"

连续：函数在某点 (x0) 满足 (lim{x to x_0} f(x) = f(x_0))，即极限值等于函数值。
区间：实数轴上的一段连续范围（如闭区间 ([a,b]) 或开区间 ((a,b))）。
函数：映射关系 (f: mathbb{R} to mathbb{R})。定义：若函数 (f(x)) 在区间 (I) 内任意点 (x_0) 均连续，则称 (f(x)) 为 (I) 上的连续区间函数。

二、英文对应术语

Continuous Function on an Interval

Continuous：满足 (lim_{x to c} f(x) = f(c)) at every point (c) in the interval.
Interval：A connected subset of real numbers (e.g., ([a,b]) or ((a,b))).
Function：A mapping (f: D to mathbb{R}) where (D subseteq mathbb{R}). 定义：A function is continuous on an interval if it is continuous at every point within that interval.

三、核心性质

局部有界性
在闭区间 ([a,b]) 上连续的函数必有界（Weierstrass 定理）。

最值存在性
闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值。

介值定理
若 (f(a) < k < f(b))，则存在 (c in (a,b)) 使得 (f(c)=k)。

四、应用场景

微积分基本定理：连续函数是积分与微分运算的基础。
工程建模：描述物理系统的连续变化（如温度分布、流体运动）。
优化问题：在闭区间上连续的函数必存在最优解。

五、权威参考

《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨）
定义连续性为“函数值增量随自变量增量任意小”（第一卷 §1.4）。

《数学分析原理》（Rudin）
指出区间连续性是微分中值定理的前提（第四章连续性定理）。

《高等数学》（同济大学）
强调初等函数在其定义区间内必连续（第二章第五节）。

六、中英文定义对比

概念	中文表述	英文表述
连续性条件	(forall varepsilon>0, exists delta>0) 使得 (	x-x_0
区间类型	开区间、闭区间、半开区间	Open, closed, half-open intervals

注：因未搜索到可直接引用的在线词典资源，本文定义基于经典数学教材共识。建议参考高等教育出版社《数学分析》或 Cambridge University Press 的 Principles of Mathematical Analysis 获取完整定义。

网络扩展解释

“连续区间函数”通常指的是在某个区间上连续的函数。以下是详细解释：

1.定义

若函数 ( f(x) ) 在区间 ( I )（如开区间 ( (a,b) )、闭区间 ( [a,b] )）内的每一点都满足以下条件，则称 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上连续：

( f(x) ) 在该点有定义；
极限 (lim_{x to c} f(x)) 存在；
极限值等于函数值，即 (lim_{x to c} f(x) = f(c))。

对于闭区间端点 ( a ) 或 ( b )，只需满足单侧连续性（例如在 ( a ) 处右连续即可）。

2.关键性质

中间值定理：若 ( f(x) ) 在 ([a,b]) 上连续，则对任意介于 ( f(a) ) 和 ( f(b) ) 之间的值 ( C )，必存在 ( c in (a,b) ) 使得 ( f(c) = C )。
最值定理：闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值。
运算性质：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续。

3.常见例子

多项式函数（如 ( f(x) = x + 3x )）在所有实数区间上连续。
三角函数（如 ( sin x, cos x )）在其定义域内连续。
指数函数和对数函数（如 ( e^x )、( ln x )）在定义区间内连续。

4.与非连续函数的对比

例如，分段函数 ( f(x) = begin{cases} 1 & x geq 0-1 & x < 0 end{cases} ) 在区间 ( [-1,1] ) 内的 ( x=0 ) 处不连续，因此不是该区间上的连续函数。

5.应用意义

连续性保证了函数在区间内没有“跳跃”或“断裂”，是微积分中研究积分、导数等概念的基础条件。例如，只有连续函数才能应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。

如需进一步学习，可参考数学分析教材中关于函数连续性的章节。