連續區間函數英文解釋翻譯、連續區間函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 continuous interval function

分詞翻譯：

連續區的英語翻譯：

【化】 continuum

間的英語翻譯：

among; between; separate; sow discord; space
【化】 meta-
【醫】 dia-; inter-; meta-

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學分析中，"連續區間函數"指在給定區間内每一點都連續的函數。以下是中英文對照的詳細解釋：

一、中文術語解析

連續區間函數 = "連續" + "區間" + "函數"

連續：函數在某點 (x0) 滿足 (lim{x to x_0} f(x) = f(x_0))，即極限值等于函數值。
區間：實數軸上的一段連續範圍（如閉區間 ([a,b]) 或開區間 ((a,b))）。
函數：映射關系 (f: mathbb{R} to mathbb{R})。定義：若函數 (f(x)) 在區間 (I) 内任意點 (x_0) 均連續，則稱 (f(x)) 為 (I) 上的連續區間函數。

二、英文對應術語

Continuous Function on an Interval

Continuous：滿足 (lim_{x to c} f(x) = f(c)) at every point (c) in the interval.
Interval：A connected subset of real numbers (e.g., ([a,b]) or ((a,b))).
Function：A mapping (f: D to mathbb{R}) where (D subseteq mathbb{R}). 定義：A function is continuous on an interval if it is continuous at every point within that interval.

三、核心性質

局部有界性
在閉區間 ([a,b]) 上連續的函數必有界（Weierstrass 定理）。

最值存在性
閉區間上的連續函數必能取到最大值和最小值。

介值定理
若 (f(a) < k < f(b))，則存在 (c in (a,b)) 使得 (f(c)=k)。

四、應用場景

微積分基本定理：連續函數是積分與微分運算的基礎。
工程建模：描述物理系統的連續變化（如溫度分布、流體運動）。
優化問題：在閉區間上連續的函數必存在最優解。

五、權威參考

《微積分學教程》（菲赫金哥爾茨）
定義連續性為“函數值增量隨自變量增量任意小”（第一卷 §1.4）。

《數學分析原理》（Rudin）
指出區間連續性是微分中值定理的前提（第四章連續性定理）。

《高等數學》（同濟大學）
強調初等函數在其定義區間内必連續（第二章第五節）。

六、中英文定義對比

概念	中文表述	英文表述
連續性條件	(forall varepsilon>0, exists delta>0) 使得 (	x-x_0
區間類型	開區間、閉區間、半開區間	Open, closed, half-open intervals

注：因未搜索到可直接引用的線上詞典資源，本文定義基于經典數學教材共識。建議參考高等教育出版社《數學分析》或 Cambridge University Press 的 Principles of Mathematical Analysis 獲取完整定義。

網絡擴展解釋

“連續區間函數”通常指的是在某個區間上連續的函數。以下是詳細解釋：

1.定義

若函數 ( f(x) ) 在區間 ( I )（如開區間 ( (a,b) )、閉區間 ( [a,b] )）内的每一點都滿足以下條件，則稱 ( f(x) ) 在區間 ( I ) 上連續：

( f(x) ) 在該點有定義；
極限 (lim_{x to c} f(x)) 存在；
極限值等于函數值，即 (lim_{x to c} f(x) = f(c))。

對于閉區間端點 ( a ) 或 ( b )，隻需滿足單側連續性（例如在 ( a ) 處右連續即可）。

2.關鍵性質

中間值定理：若 ( f(x) ) 在 ([a,b]) 上連續，則對任意介于 ( f(a) ) 和 ( f(b) ) 之間的值 ( C )，必存在 ( c in (a,b) ) 使得 ( f(c) = C )。
最值定理：閉區間上的連續函數必能取到最大值和最小值。
運算性質：連續函數的和、差、積、商（分母不為零）仍連續。

3.常見例子

多項式函數（如 ( f(x) = x + 3x )）在所有實數區間上連續。
三角函數（如 ( sin x, cos x )）在其定義域内連續。
指數函數和對數函數（如 ( e^x )、( ln x )）在定義區間内連續。

4.與非連續函數的對比

例如，分段函數 ( f(x) = begin{cases} 1 & x geq 0-1 & x < 0 end{cases} ) 在區間 ( [-1,1] ) 内的 ( x=0 ) 處不連續，因此不是該區間上的連續函數。

5.應用意義

連續性保證了函數在區間内沒有“跳躍”或“斷裂”，是微積分中研究積分、導數等概念的基礎條件。例如，隻有連續函數才能應用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分。

如需進一步學習，可參考數學分析教材中關于函數連續性的章節。