介值定理英文解释翻译、介值定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 intermediate value theorem

分词翻译：

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

介值定理（Intermediate Value Theorem）是数学分析中关于连续函数性质的核心定理之一。其标准英文表述为："If a function ( f ) is continuous on the interval ([a, b]) and ( C ) is any value between ( f(a) ) and ( f(b) ), then there exists at least one point ( c in (a, b) ) such that ( f(c) = C )。"

数学表达与内涵

用公式可表示为：

f(a) eq f(b) implies forall C in (min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))), exists c in (a, b), f(c) = C

该定理表明，连续函数在区间内的取值会覆盖其端点值之间的所有中间值。例如，若温度从(-5^circ C)连续上升到(15^circ C)，则必会经过(0^circ C)，这一现象可通过介值定理严格证明。

应用场景

方程解的存在性：证明方程( f(x) = 0 )在区间内有解（如通过( f(a) cdot f(b) < 0 )推导）。
图像分析：解释连续函数图像无间断穿过水平线的必然性。
工程建模：用于信号处理中连续信号变化的预测与验证。

参考来源

定理的严格证明可参考《数学分析原理》（Walter Rudin著，第三版）第4章。
应用案例解析详见麻省理工学院公开课程《微积分》18.01章节（MIT OpenCourseWare）。

注：以上引用内容为学术界通用教材与公开资源，未标注网页链接以确保信息可靠性。

网络扩展解释

介值定理（Intermediate Value Theorem）是数学分析中的一个重要定理，主要描述连续函数在区间上的取值特性。以下是详细解释：

定理内容

若函数 ( f(x) ) 在闭区间 ([a, b]) 上连续，且 ( f(a) eq f(b) )，则对于 ( f(a) ) 和 ( f(b) ) 之间的任意实数 ( C )，至少存在一点 ( c in (a, b) )，使得 ( f(c) = C )。

数学表达式为： $$ f(a) < C < f(b) quad text{（或 } f(b) < C < f(a) text{）} implies exists c in (a, b),f(c) = C. $$

核心条件

连续性：函数必须在闭区间 ([a, b]) 上连续。
闭区间：定理仅保证闭区间内的存在性，开区间可能不成立。

直观理解

连续函数在区间内不会“跳跃”或“断裂”，因此若函数值从 ( f(a) ) 变化到 ( f(b) )，必然经过两者之间的所有值。
示例：
设 ( f(x) = x ) 在 ([-1, 2]) 上连续，且 ( f(-1)=1 )，( f(2)=4 )。根据介值定理，对任意 ( C in (1, 4) )（如 ( C=3 )），存在 ( c = sqrt{3} in (-1, 2) ) 使得 ( f(c) = 3 )。

典型应用

证明方程根的存在性
若 ( f(a) ) 与 ( f(b) ) 符号相反（如 ( f(a) < 0 )，( f(b) > 0 )），则至少存在一点 ( c in (a, b) ) 使得 ( f(c) = 0 )。
否定函数连续性
若某函数在区间内不满足介值性，则它一定不连续。

注意事项

条件不可省略：若函数不连续或区间非闭，定理可能失效。
反例：( f(x) = 1/x ) 在 ((0, 1)) 连续，但 ( f(0.5)=2 ) 到 ( f(0.25)=4 ) 之间无法取到 ( C=3 )，因区间未包含 ( x=0 )。