介值定理英文解釋翻譯、介值定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 intermediate value theorem

分詞翻譯：

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

介值定理（Intermediate Value Theorem）是數學分析中關于連續函數性質的核心定理之一。其标準英文表述為："If a function ( f ) is continuous on the interval ([a, b]) and ( C ) is any value between ( f(a) ) and ( f(b) ), then there exists at least one point ( c in (a, b) ) such that ( f(c) = C )。"

數學表達與内涵

用公式可表示為：

f(a) eq f(b) implies forall C in (min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))), exists c in (a, b), f(c) = C

該定理表明，連續函數在區間内的取值會覆蓋其端點值之間的所有中間值。例如，若溫度從(-5^circ C)連續上升到(15^circ C)，則必會經過(0^circ C)，這一現象可通過介值定理嚴格證明。

應用場景

方程解的存在性：證明方程( f(x) = 0 )在區間内有解（如通過( f(a) cdot f(b) < 0 )推導）。
圖像分析：解釋連續函數圖像無間斷穿過水平線的必然性。
工程建模：用于信號處理中連續信號變化的預測與驗證。

參考來源

定理的嚴格證明可參考《數學分析原理》（Walter Rudin著，第三版）第4章。
應用案例解析詳見麻省理工學院公開課程《微積分》18.01章節（MIT OpenCourseWare）。

注：以上引用内容為學術界通用教材與公開資源，未标注網頁鍊接以确保信息可靠性。

網絡擴展解釋

介值定理（Intermediate Value Theorem）是數學分析中的一個重要定理，主要描述連續函數在區間上的取值特性。以下是詳細解釋：

定理内容

若函數 ( f(x) ) 在閉區間 ([a, b]) 上連續，且 ( f(a) eq f(b) )，則對于 ( f(a) ) 和 ( f(b) ) 之間的任意實數 ( C )，至少存在一點 ( c in (a, b) )，使得 ( f(c) = C )。

數學表達式為： $$ f(a) < C < f(b) quad text{（或 } f(b) < C < f(a) text{）} implies exists c in (a, b),f(c) = C. $$

核心條件

連續性：函數必須在閉區間 ([a, b]) 上連續。
閉區間：定理僅保證閉區間内的存在性，開區間可能不成立。

直觀理解

連續函數在區間内不會“跳躍”或“斷裂”，因此若函數值從 ( f(a) ) 變化到 ( f(b) )，必然經過兩者之間的所有值。
示例：
設 ( f(x) = x ) 在 ([-1, 2]) 上連續，且 ( f(-1)=1 )，( f(2)=4 )。根據介值定理，對任意 ( C in (1, 4) )（如 ( C=3 )），存在 ( c = sqrt{3} in (-1, 2) ) 使得 ( f(c) = 3 )。

典型應用

證明方程根的存在性
若 ( f(a) ) 與 ( f(b) ) 符號相反（如 ( f(a) < 0 )，( f(b) > 0 )），則至少存在一點 ( c in (a, b) ) 使得 ( f(c) = 0 )。
否定函數連續性
若某函數在區間内不滿足介值性，則它一定不連續。

注意事項

條件不可省略：若函數不連續或區間非閉，定理可能失效。
反例：( f(x) = 1/x ) 在 ((0, 1)) 連續，但 ( f(0.5)=2 ) 到 ( f(0.25)=4 ) 之間無法取到 ( C=3 )，因區間未包含 ( x=0 )。