基本群英文解释翻译、基本群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 fundamental group

basic; essence

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

在数学拓扑学领域，"基本群"（fundamental group）是描述空间连通性质的核心代数结构。其英文表述为$pi_1(X,x_0)$，其中$X$表示拓扑空间，$x_0$为基点，群元素对应空间中基于该点的闭合路径同伦类。

该概念由法国数学家亨利·庞加莱于1895年正式提出，其核心定义包含三个关键要素：

根据Hatcher《代数拓扑》的经典论述，基本群的计算公式可表示为： $$ pi_1(X,x_0) = { [gamma]|gamma text{ 是 } X text{ 中基于 } x_0 text{ 的闭合路径} } $$ 其中$[gamma]$表示路径的同伦等价类。

典型应用包括：

该理论在微分几何（陈省身示性类）、弦理论（闭合路径量子化）及计算机图形学（曲面分类算法）中均有重要应用。权威参考文献推荐Springer出版的《Algebraic Topology: An Intuitive Approach》第三章，其中包含对基本群公理化体系的完整证明。

基本群（Fundamental Group）是代数拓扑学中的核心概念之一，用于研究拓扑空间的“孔洞”结构及其连通性。它由法国数学家亨利·庞加莱于19世纪末提出，是拓扑空间中闭路径（环路）在同伦等价关系下形成的群结构。

对于拓扑空间 ( X ) 和基点 ( x_0 in X )，基本群记作 ( pi_1(X, x_0) )：

同伦不变量：若两个空间同伦等价，则它们的基本群同构。
与“孔洞”相关：基本群的非平凡性通常反映空间的一维孔洞。例如：
- 圆周 ( S ) 的基本群为整数加群 ( mathbb{Z} )，对应环绕次数。
- 环面 ( T ) 的基本群为 ( mathbb{Z} times mathbb{Z} )，对应两个独立方向的环绕。
- 球面 ( S^n )（( n geq 2 )）的基本群为平凡群，因为所有环路可收缩。

基本群是研究空间拓扑性质的基础工具，后续的高阶同伦群（如 ( pi_n )）则推广了其思想到更高维的“环路”结构。