变分学英文解释翻译、变分学的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 calculus of variations

分词翻译：

变的英语翻译：

become; change
【医】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英语翻译：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【计】 M
【医】 deci-; Div.; divi-divi

学的英语翻译：

imitate; knowledge; learn; mimic; school; study; subject of study

专业解析

变分学（Calculus of Variations）是数学分析的一个分支，主要研究泛函的极值问题。其核心目标是通过寻找使泛函取得极值的函数，解决物理、工程等领域中的优化问题。在汉英词典中，该术语对应英文“Calculus of Variations”，强调“变化”（variation）与“极值”（extremum）的关联性。

1. 数学定义与核心原理

变分学通过泛函分析研究函数的无限小变化对整体结果的影响。其核心方程为欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation），用于描述泛函极值的必要条件。公式可表示为： $$ frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx}left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0 $$ 其中$L$为拉格朗日函数，$y$为待求函数，$y'$为其导数。该方程在经典力学和光学中具有基础性作用。

2. 应用领域

物理学：用于推导最小作用量原理，如哈密顿力学中的运动方程。
工程学：优化结构设计（如悬链线形状计算）和控制系统。
经济学：资源分配的最优路径规划，例如动态最优化问题。

3. 经典案例

最速降线问题（Brachistochrone Problem）是变分学的历史起源问题之一，通过比较不同曲线路径的下滑时间，证明摆线（cycloid）为最优解。

4. 汉英术语对照

变分法：Variational Method
泛函：Functional
极值曲线：Extremal Curve
（来源：《牛津数学词典》第5版，剑桥大学出版社）

参考引用

数学百科全书, "Calculus of Variations", 2023年修订版
斯坦福大学数学系公开课程讲义, "Applied Variational Methods"
中国科学院数学研究所, 《泛函分析与变分法》专著, 2021年出版

网络扩展解释

变分学（Calculus of Variations）是数学中研究泛函极值问题的分支，核心目标是寻找使泛函（函数的函数）取得极值（如最小值或最大值）的特定函数。以下是其核心要点：

1.基本概念

泛函：以函数为自变量、实数为输出的映射。例如，曲线长度、能量积分等均可视为泛函。
变分：类比微积分中的微分，指对函数本身进行微小扰动，研究泛函如何随函数变化。

2.核心问题

典型问题是寻找使泛函 ( J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y') , dx ) 取得极值的函数 ( y(x) )。
通过欧拉-拉格朗日方程求解： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 这是确定极值函数的必要条件。

3.经典案例

最速降线问题：在重力作用下，两点间使质点下滑时间最短的曲线（答案是摆线）。
短程线问题：曲面上两点间最短路径（测地线）。

4.应用领域

物理学：分析力学中的拉格朗日方程、哈密顿原理。
工程学：结构优化、控制理论。
机器学习：变分推断、概率图模型中的近似计算。

5.与微积分的区别

微积分研究函数的极值，而变分学研究泛函的极值，需通过函数空间中的“变分”操作推导条件。

若需进一步了解数学推导或具体应用场景，可参考《变分法导论》或相关数学物理教材。