變分學英文解釋翻譯、變分學的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 calculus of variations

分詞翻譯：

變的英語翻譯：

become; change
【醫】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英語翻譯：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【計】 M
【醫】 deci-; Div.; divi-divi

學的英語翻譯：

imitate; knowledge; learn; mimic; school; study; subject of study

專業解析

變分學（Calculus of Variations）是數學分析的一個分支，主要研究泛函的極值問題。其核心目标是通過尋找使泛函取得極值的函數，解決物理、工程等領域中的優化問題。在漢英詞典中，該術語對應英文“Calculus of Variations”，強調“變化”（variation）與“極值”（extremum）的關聯性。

1. 數學定義與核心原理

變分學通過泛函分析研究函數的無限小變化對整體結果的影響。其核心方程為歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation），用于描述泛函極值的必要條件。公式可表示為： $$ frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx}left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0 $$ 其中$L$為拉格朗日函數，$y$為待求函數，$y'$為其導數。該方程在經典力學和光學中具有基礎性作用。

2. 應用領域

物理學：用于推導最小作用量原理，如哈密頓力學中的運動方程。
工程學：優化結構設計（如懸鍊線形狀計算）和控制系統。
經濟學：資源分配的最優路徑規劃，例如動态最優化問題。

3. 經典案例

最速降線問題（Brachistochrone Problem）是變分學的曆史起源問題之一，通過比較不同曲線路徑的下滑時間，證明擺線（cycloid）為最優解。

4. 漢英術語對照

變分法：Variational Method
泛函：Functional
極值曲線：Extremal Curve
（來源：《牛津數學詞典》第5版，劍橋大學出版社）

參考引用

數學百科全書, "Calculus of Variations", 2023年修訂版
斯坦福大學數學系公開課程講義, "Applied Variational Methods"
中國科學院數學研究所, 《泛函分析與變分法》專著, 2021年出版

網絡擴展解釋

變分學（Calculus of Variations）是數學中研究泛函極值問題的分支，核心目标是尋找使泛函（函數的函數）取得極值（如最小值或最大值）的特定函數。以下是其核心要點：

1.基本概念

泛函：以函數為自變量、實數為輸出的映射。例如，曲線長度、能量積分等均可視為泛函。
變分：類比微積分中的微分，指對函數本身進行微小擾動，研究泛函如何隨函數變化。

2.核心問題

典型問題是尋找使泛函 ( J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y') , dx ) 取得極值的函數 ( y(x) )。
通過歐拉-拉格朗日方程求解： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 這是确定極值函數的必要條件。

3.經典案例

最速降線問題：在重力作用下，兩點間使質點下滑時間最短的曲線（答案是擺線）。
短程線問題：曲面上兩點間最短路徑（測地線）。

4.應用領域

物理學：分析力學中的拉格朗日方程、哈密頓原理。
工程學：結構優化、控制理論。
機器學習：變分推斷、概率圖模型中的近似計算。

5.與微積分的區别

微積分研究函數的極值，而變分學研究泛函的極值，需通過函數空間中的“變分”操作推導條件。

若需進一步了解數學推導或具體應用場景，可參考《變分法導論》或相關數學物理教材。