本征根英文解释翻译、本征根的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 latent root

the root of a plant; this
【机】 aetioporphyrin

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【医】 sign; signe; signum

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

本征根（Eigenroot）是线性代数中的核心概念，指线性变换中保持方向不变的向量所对应的特殊数值。其英文对应术语为Eigenvalue（特征值），与特征向量（Eigenvector）共同描述系统的内在性质。以下是详细解释：

设 ( A ) 是一个 ( n times n ) 矩阵，若存在非零向量 ( mathbf{v} ) 和标量 ( lambda ) 满足方程：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

则称 ( lambda ) 为矩阵 ( A ) 的本征根（特征值），( mathbf{v} ) 为对应的特征向量。该定义表明，本征根反映了线性变换在特定方向上的缩放比例。

本征根 vs. 特征值
中文语境中，“本征根”与“特征值”为同义词，均译自 Eigenvalue。工程领域多用“特征值”，而物理文献倾向“本征”（如“本征态”）。

求解本征根需解特征方程：

$$ det(A - lambda I) = 0 $$

所得 ( lambda ) 的集合称为矩阵的谱（Spectrum），其分布决定了系统的关键行为，如衰减速率或振荡频率。

"本征根"是一个数学和物理学术语，其核心含义需要结合"本征"和"根"两部分理解：

术语构成解析
- 本征（Eigen）：源自德语"eigen"，意为"固有的、本质的"，用于描述系统或方程的内在特性。
- 根（Root）：数学中指方程的解，或代数结构中满足特定条件的元素。例如特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 的解即为特征根（本征根）。
数学领域定义
在线性代数中，本征根特指矩阵特征方程对应的根，即矩阵特征值的数学表达式。例如： $$ Ax = lambda x $$ 其中$lambda$即为本征根，代表线性变换的缩放因子。
应用领域
常见于量子力学（波函数本征态）、机械振动（系统固有频率）、统计学（主成分分析）等需要分析系统内在属性的场景。

补充说明：部分文献中"本征根"可能被表述为"特征根"（Characteristic root），两者为同一概念的不同译法。如需具体案例分析，建议提供上下文以便更精准解释。