贝蒂数英文解释翻译、贝蒂数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Betti number

分词翻译：

贝蒂的英语翻译：

【计】 Betti

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

贝蒂数（Betti number）是代数拓扑学中的核心概念之一，用于描述拓扑空间在不同维度上的“洞”的数量特征。其英文术语为“Betti number”，以意大利数学家恩里科·贝蒂（Enrico Betti）命名。以下是详细解释：

一、数学定义

贝蒂数是拓扑空间第 (k) 阶同调群 (H_k(X)) 的秩（rank），即该自由阿贝尔群的最大自由生成元数量。其数学表达为： $$ b_k(X) = text{rank}(H_k(X)) $$ 其中 (k) 表示维度（如 (k=0,1,2) 分别对应连通分量、一维洞、二维空洞等）。

二、拓扑意义

贝蒂数通过量化不同维度的拓扑特征，刻画空间的整体结构：

(b_0)：连通分量数量（如球体 (b_0=1)，两个分离球体 (b_0=2)）
(b_1)：一维“洞”的数量（如圆环 (b_1=1)，双环面 (b_1=2)）
(b_2)：二维封闭曲面的空洞数（如球面 (b_2=1)，环面 (b_2=0)）。

三、命名来源

该概念由恩里科·贝蒂在19世纪提出，后经亨利·庞加莱系统化并引入同调理论，成为现代拓扑学的基石之一。

四、应用示例

比较环面与球面的贝蒂数： | 空间 | (b_0) | (b_1) | (b_2) | |--------|---------|---------|---------| | 球面 | 1 | 0 | 1 | | 环面 | 1 | 2 | 1 |

此差异表明环面有两个独立的一维洞（经圈和纬圈），而球面无洞但有封闭曲面。

权威参考资料

Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. (定义与计算)
American Mathematical Society. Betti Numbers. Encyclopedia of Mathematics.
Weisstein, E. Betti Number. MathWorld--A Wolfram Web Resource.

网络扩展解释

贝蒂数是代数拓扑学中描述拓扑空间结构的重要不变量，以下为详细解释：

定义

贝蒂数（Betti numbers）是一组非负整数或无穷大的序列，记为$b_0, b_1, b_2, ldots$。其数学定义为： $$ b_k = text{rank}(H_k(X)) $$ 其中$H_k(X)$是拓扑空间$X$的第$k$个同调群，$b_k$表示该同调群的秩。

几何意义

$b_0$：表示空间的连通分支数。例如，三个不相交的圆环$b_0=3$。
$b_1$：对应空间中“环状结构”或一维洞的数量。例如，圆环（轮胎面）的$b_1=2$，对应其经向和纬向的两个独立环。
$b_2$：描述二维闭合曲面的数量。如球面的$b_2=1$，而环面的$b_2=1$（因其表面可包围一个三维空腔）。

典型例子

圆环面：贝蒂数序列为$1, 2, 1$（$b_0=1$连通，$b_1=2$个独立环，$b_2=1$个闭合曲面）。
二维球面：序列为$1, 0, 1$（无环状结构，但有包围空腔的曲面）。

应用

贝蒂数通过量化空间不同维度的“洞”数量，成为区分流形类型（如球面、环面）的核心工具，在数据分析、图形学中用于拓扑结构分析。

如需更深入的数学推导或扩展案例，可参考代数拓扑教材或相关学术文献。