貝蒂數英文解釋翻譯、貝蒂數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Betti number

分詞翻譯：

貝蒂的英語翻譯：

【計】 Betti

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

貝蒂數（Betti number）是代數拓撲學中的核心概念之一，用于描述拓撲空間在不同維度上的“洞”的數量特征。其英文術語為“Betti number”，以意大利數學家恩裡科·貝蒂（Enrico Betti）命名。以下是詳細解釋：

一、數學定義

貝蒂數是拓撲空間第 (k) 階同調群 (H_k(X)) 的秩（rank），即該自由阿貝爾群的最大自由生成元數量。其數學表達為： $$ b_k(X) = text{rank}(H_k(X)) $$ 其中 (k) 表示維度（如 (k=0,1,2) 分别對應連通分量、一維洞、二維空洞等）。

二、拓撲意義

貝蒂數通過量化不同維度的拓撲特征，刻畫空間的整體結構：

(b_0)：連通分量數量（如球體 (b_0=1)，兩個分離球體 (b_0=2)）
(b_1)：一維“洞”的數量（如圓環 (b_1=1)，雙環面 (b_1=2)）
(b_2)：二維封閉曲面的空洞數（如球面 (b_2=1)，環面 (b_2=0)）。

三、命名來源

該概念由恩裡科·貝蒂在19世紀提出，後經亨利·龐加萊系統化并引入同調理論，成為現代拓撲學的基石之一。

四、應用示例

比較環面與球面的貝蒂數： | 空間 | (b_0) | (b_1) | (b_2) | |--------|---------|---------|---------| | 球面 | 1 | 0 | 1 | | 環面 | 1 | 2 | 1 |

此差異表明環面有兩個獨立的一維洞（經圈和緯圈），而球面無洞但有封閉曲面。

權威參考資料

Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. (定義與計算)
American Mathematical Society. Betti Numbers. Encyclopedia of Mathematics.
Weisstein, E. Betti Number. MathWorld--A Wolfram Web Resource.

網絡擴展解釋

貝蒂數是代數拓撲學中描述拓撲空間結構的重要不變量，以下為詳細解釋：

定義

貝蒂數（Betti numbers）是一組非負整數或無窮大的序列，記為$b_0, b_1, b_2, ldots$。其數學定義為： $$ b_k = text{rank}(H_k(X)) $$ 其中$H_k(X)$是拓撲空間$X$的第$k$個同調群，$b_k$表示該同調群的秩。

幾何意義

$b_0$：表示空間的連通分支數。例如，三個不相交的圓環$b_0=3$。
$b_1$：對應空間中“環狀結構”或一維洞的數量。例如，圓環（輪胎面）的$b_1=2$，對應其經向和緯向的兩個獨立環。
$b_2$：描述二維閉合曲面的數量。如球面的$b_2=1$，而環面的$b_2=1$（因其表面可包圍一個三維空腔）。

典型例子

圓環面：貝蒂數序列為$1, 2, 1$（$b_0=1$連通，$b_1=2$個獨立環，$b_2=1$個閉合曲面）。
二維球面：序列為$1, 0, 1$（無環狀結構，但有包圍空腔的曲面）。

應用

貝蒂數通過量化空間不同維度的“洞”數量，成為區分流形類型（如球面、環面）的核心工具，在數據分析、圖形學中用于拓撲結構分析。

如需更深入的數學推導或擴展案例，可參考代數拓撲教材或相關學術文獻。