柯西不等式英文解释翻译、柯西不等式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Cauchy inequality

分词翻译：

柯的英语翻译：

【建】 chry-; chryso-

西的英语翻译：

west; Western

不等式的英语翻译：

inequality
【计】 inequality; inequivalence
【化】 inequality

专业解析

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中关于内积空间的核心不等式，在汉英词典中常译为“Cauchy-Schwarz Inequality”。其详细解释如下：

一、数学定义与公式

柯西不等式表明：对于任意实数序列 (a_1, a_2, dots, a_n) 和 (b_1, b_2, dots, bn)，恒有

$$ left( sum{i=1}^n a_i bi right) leq sum{i=1}^n ai cdot sum{i=1}^n b_i $$ 当且仅当序列成比例（即存在常数 (k) 使得 (a_i = k b_i)）时取等号。在向量形式下，可表述为： $$ |mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| $$ 其中 (mathbf{a}, mathbf{b}) 为欧几里得空间中的向量。

二、几何解释

从几何角度，不等式说明两个向量的点积绝对值不超过其模的乘积。这等价于向量夹角 (theta) 满足： $$ cos theta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|} in [-1,1] $$ 即夹角余弦的有界性。

三、应用领域

概率统计：用于证明相关系数 (|rho_{XY}| leq 1)。
线性代数：描述向量投影长度的关系。
物理学：在量子力学中构建不确定性原理。
工程优化：约束条件下极值问题的理论工具。

四、历史背景

该不等式由奥古斯丁·柯西（Augustin-Louis Cauchy）于1821年首次提出，后由赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）在1888年推广到积分形式。

参考资料：

MathWorld, "Cauchy-Schwarz Inequality"
Khan Academy, "Linear Algebra: Cauchy-Schwarz Inequality"
Encyclopedia of Mathematics, "Cauchy-Schwarz Inequality"
Springer, "Inequalities in Analysis and Probability"

网络扩展解释

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个重要的不等式，用于描述向量空间中内积与向量长度之间的关系。它有两种常见形式：

一、代数形式（向量形式）

对于任意实数序列 (a_1, a_2, dots, a_n) 和 (b_1, b_2, dots, bn)，有： $$ left( sum{i=1}^n a_i bi right) leq left( sum{i=1}^n ai right) left( sum{i=1}^n b_i right) $$ 等价向量表达：若 (mathbf{a}) 和 (mathbf{b}) 是向量，则： $$ |mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| $$ 其中，(mathbf{a} cdot mathbf{b}) 是向量的点积，(|mathbf{a}|) 是向量的模长。

二、积分形式

对于区间 ([a, b]) 上的实值可积函数 (f(x)) 和 (g(x))，有： $$ left( int_a^b f(x)g(x) , dx right) leq left( int_a^b f(x) , dx right) left( int_a^b g(x) , dx right) $$

三、几何意义

柯西不等式表明：

两个向量的点积绝对值不超过它们长度的乘积。
在几何中，这对应于两个向量的夹角 (theta) 满足 (|costheta| leq 1)，即： $$ costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| cdot |mathbf{b}|} $$

四、应用场景

证明其他不等式：如均值不等式、三角不等式等。
概率论：用于协方差与方差的关系推导，例如 (|text{Cov}(X,Y)| leq sqrt{text{Var}(X)text{Var}(Y)})。
几何分析：判断向量是否共线（等号成立当且仅当向量线性相关）。

五、举例说明

若 (a = (1, 2)) 和 (b = (3, 4))，则：

点积：(1 cdot 3 + 2 cdot 4 = 11)
模长乘积：(sqrt{1+2} cdot sqrt{3+4} = sqrt{5} cdot 5 approx 11.18)
显然 (11 leq 11.18)，满足不等式。

柯西不等式是线性代数、分析和物理学中的基础工具，其核心思想是“内积有界性”，在优化、信号处理等领域也有广泛应用。