柯西不等式英文解釋翻譯、柯西不等式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Cauchy inequality

分詞翻譯：

柯的英語翻譯：

【建】 chry-; chryso-

西的英語翻譯：

west; Western

不等式的英語翻譯：

inequality
【計】 inequality; inequivalence
【化】 inequality

專業解析

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是數學中關于内積空間的核心不等式，在漢英詞典中常譯為“Cauchy-Schwarz Inequality”。其詳細解釋如下：

一、數學定義與公式

柯西不等式表明：對于任意實數序列 (a_1, a_2, dots, a_n) 和 (b_1, b_2, dots, bn)，恒有

$$ left( sum{i=1}^n a_i bi right) leq sum{i=1}^n ai cdot sum{i=1}^n b_i $$ 當且僅當序列成比例（即存在常數 (k) 使得 (a_i = k b_i)）時取等號。在向量形式下，可表述為： $$ |mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| $$ 其中 (mathbf{a}, mathbf{b}) 為歐幾裡得空間中的向量。

二、幾何解釋

從幾何角度，不等式說明兩個向量的點積絕對值不超過其模的乘積。這等價于向量夾角 (theta) 滿足： $$ cos theta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|} in [-1,1] $$ 即夾角餘弦的有界性。

三、應用領域

概率統計：用于證明相關系數 (|rho_{XY}| leq 1)。
線性代數：描述向量投影長度的關系。
物理學：在量子力學中構建不确定性原理。
工程優化：約束條件下極值問題的理論工具。

四、曆史背景

該不等式由奧古斯丁·柯西（Augustin-Louis Cauchy）于1821年首次提出，後由赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）在1888年推廣到積分形式。

參考資料：

MathWorld, "Cauchy-Schwarz Inequality"
Khan Academy, "Linear Algebra: Cauchy-Schwarz Inequality"
Encyclopedia of Mathematics, "Cauchy-Schwarz Inequality"
Springer, "Inequalities in Analysis and Probability"

網絡擴展解釋

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是數學中一個重要的不等式，用于描述向量空間中内積與向量長度之間的關系。它有兩種常見形式：

一、代數形式（向量形式）

對于任意實數序列 (a_1, a_2, dots, a_n) 和 (b_1, b_2, dots, bn)，有： $$ left( sum{i=1}^n a_i bi right) leq left( sum{i=1}^n ai right) left( sum{i=1}^n b_i right) $$ 等價向量表達：若 (mathbf{a}) 和 (mathbf{b}) 是向量，則： $$ |mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| $$ 其中，(mathbf{a} cdot mathbf{b}) 是向量的點積，(|mathbf{a}|) 是向量的模長。

二、積分形式

對于區間 ([a, b]) 上的實值可積函數 (f(x)) 和 (g(x))，有： $$ left( int_a^b f(x)g(x) , dx right) leq left( int_a^b f(x) , dx right) left( int_a^b g(x) , dx right) $$

三、幾何意義

柯西不等式表明：

兩個向量的點積絕對值不超過它們長度的乘積。
在幾何中，這對應于兩個向量的夾角 (theta) 滿足 (|costheta| leq 1)，即： $$ costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| cdot |mathbf{b}|} $$

四、應用場景

證明其他不等式：如均值不等式、三角不等式等。
概率論：用于協方差與方差的關系推導，例如 (|text{Cov}(X,Y)| leq sqrt{text{Var}(X)text{Var}(Y)})。
幾何分析：判斷向量是否共線（等號成立當且僅當向量線性相關）。

五、舉例說明

若 (a = (1, 2)) 和 (b = (3, 4))，則：

點積：(1 cdot 3 + 2 cdot 4 = 11)
模長乘積：(sqrt{1+2} cdot sqrt{3+4} = sqrt{5} cdot 5 approx 11.18)
顯然 (11 leq 11.18)，滿足不等式。

柯西不等式是線性代數、分析和物理學中的基礎工具，其核心思想是“内積有界性”，在優化、信號處理等領域也有廣泛應用。