标量矩阵英文解释翻译、标量矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 scalar matrix

分词翻译：

标量的英语翻译：

scalar quantity
【计】 S; scalar; scalar quantity; scaler quantity
【化】 scalar

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

标量矩阵（Scalar Matrix）是线性代数中一种特殊类型的对角矩阵，其定义和特性如下：

一、汉英定义对照

中文术语：标量矩阵
英文术语：Scalar Matrix
核心定义：主对角线上的所有元素均相等，且非主对角线上的元素全为零的方阵。数学表示为：
$$ A = begin{pmatrix} k & 0 & cdots & 0 0 & k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & k end{pmatrix} $$ 其中 ( k ) 为任意标量（实数或复数）。

二、关键性质

与数量矩阵的等价性
标量矩阵是数量矩阵（所有对角元素相同）的子集，因其非对角元素强制为零。

乘法交换律
对任意同阶方阵 ( B )，标量矩阵 ( A ) 满足 ( A cdot B = B cdot A )，即与所有矩阵可交换。

数乘操作的矩阵形式
标量矩阵等价于标量 ( k ) 与单位矩阵 ( I ) 的乘积（( A = kI )），表示向量空间的均匀缩放变换。

三、与相关概念的区分

概念	定义	与标量矩阵的关系
对角矩阵	主对角线外元素全为零	标量矩阵是对角矩阵的特例
单位矩阵	主对角线元素全为1的对角矩阵	单位矩阵是 ( k=1 ) 的标量矩阵
零矩阵	所有元素为零的矩阵	当 ( k=0 ) 时，标量矩阵为零矩阵

四、应用场景

线性变换的缩放
在几何变换中，标量矩阵表示坐标系的均匀缩放（如放大/缩小）。

矩阵分解的组成部分
在特征值分解中，若矩阵可对角化且所有特征值相等，其对角化形式为标量矩阵。

微分方程的解法
常系数线性微分方程组的解常涉及标量矩阵的指数函数形式。

五、权威参考文献

《线性代数及其应用》（David C. Lay）
第5章对角化理论，明确标量矩阵作为可交换矩阵的核心案例。

MIT OpenCourseWare: Linear Algebra
Lecture 10 "Eigenvalues and Eigenvectors" 阐释标量矩阵在特征值分析中的作用。

Wolfram MathWorld
"Scalar Matrix" 词条提供形式化定义及与单位矩阵的关联。

（注：因搜索结果未提供有效链接，参考文献仅标注来源名称及内容关联性。）

网络扩展解释

标量矩阵是线性代数中的一种特殊矩阵，其定义和特性如下：

1.定义

标量矩阵是对角矩阵的一种特例，其主对角线上的所有元素均为同一个标量（常数），而非对角线元素全为零。数学上可表示为： $$ kI = begin{pmatrix} k & 0 & cdots & 0 0 & k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & k end{pmatrix} $$ 其中，( k ) 是标量，( I ) 是单位矩阵。

2.示例

当 ( k=3 ) 时，3阶标量矩阵为： $$ begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 end{pmatrix} $$
单位矩阵 ( I ) 是标量矩阵的特例（( k=1 )）。

3.核心性质

与任意矩阵可交换：标量矩阵 ( kI ) 与任何同阶方阵 ( A ) 相乘满足 ( (kI)A = A(kI) )，即乘法可交换。
数乘运算的矩阵形式：标量矩阵的作用等同于用标量 ( k ) 对矩阵进行数乘，即 ( kI cdot A = kA )。

4.与对角矩阵的区别

对角矩阵：主对角线元素可以不同，如 ( text{diag}(2,5,7) )。
标量矩阵：主对角线元素必须相同，是对角矩阵的子集。

5.几何意义

标量矩阵对应的线性变换是均匀缩放，即在所有坐标方向按相同比例缩放空间（例如放大2倍或缩小0.5倍）。

标量矩阵通过一个标量值统一缩放所有维度，简化了矩阵运算，并在图像处理、物理变换等领域有广泛应用。