标量矩陣英文解釋翻譯、标量矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 scalar matrix

分詞翻譯：

标量的英語翻譯：

scalar quantity
【計】 S; scalar; scalar quantity; scaler quantity
【化】 scalar

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

标量矩陣（Scalar Matrix）是線性代數中一種特殊類型的對角矩陣，其定義和特性如下：

一、漢英定義對照

中文術語：标量矩陣
英文術語：Scalar Matrix
核心定義：主對角線上的所有元素均相等，且非主對角線上的元素全為零的方陣。數學表示為：
$$ A = begin{pmatrix} k & 0 & cdots & 0 0 & k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & k end{pmatrix} $$ 其中 ( k ) 為任意标量（實數或複數）。

二、關鍵性質

與數量矩陣的等價性
标量矩陣是數量矩陣（所有對角元素相同）的子集，因其非對角元素強制為零。

乘法交換律
對任意同階方陣 ( B )，标量矩陣 ( A ) 滿足 ( A cdot B = B cdot A )，即與所有矩陣可交換。

數乘操作的矩陣形式
标量矩陣等價于标量 ( k ) 與單位矩陣 ( I ) 的乘積（( A = kI )），表示向量空間的均勻縮放變換。

三、與相關概念的區分

概念	定義	與标量矩陣的關系
對角矩陣	主對角線外元素全為零	标量矩陣是對角矩陣的特例
單位矩陣	主對角線元素全為1的對角矩陣	單位矩陣是 ( k=1 ) 的标量矩陣
零矩陣	所有元素為零的矩陣	當 ( k=0 ) 時，标量矩陣為零矩陣

四、應用場景

線性變換的縮放
在幾何變換中，标量矩陣表示坐标系的均勻縮放（如放大/縮小）。

矩陣分解的組成部分
在特征值分解中，若矩陣可對角化且所有特征值相等，其對角化形式為标量矩陣。

微分方程的解法
常系數線性微分方程組的解常涉及标量矩陣的指數函數形式。

五、權威參考文獻

《線性代數及其應用》（David C. Lay）
第5章對角化理論，明确标量矩陣作為可交換矩陣的核心案例。

MIT OpenCourseWare: Linear Algebra
Lecture 10 "Eigenvalues and Eigenvectors" 闡釋标量矩陣在特征值分析中的作用。

Wolfram MathWorld
"Scalar Matrix" 詞條提供形式化定義及與單位矩陣的關聯。

（注：因搜索結果未提供有效鍊接，參考文獻僅标注來源名稱及内容關聯性。）

網絡擴展解釋

标量矩陣是線性代數中的一種特殊矩陣，其定義和特性如下：

1.定義

标量矩陣是對角矩陣的一種特例，其主對角線上的所有元素均為同一個标量（常數），而非對角線元素全為零。數學上可表示為： $$ kI = begin{pmatrix} k & 0 & cdots & 0 0 & k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & k end{pmatrix} $$ 其中，( k ) 是标量，( I ) 是單位矩陣。

2.示例

當 ( k=3 ) 時，3階标量矩陣為： $$ begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 end{pmatrix} $$
單位矩陣 ( I ) 是标量矩陣的特例（( k=1 )）。

3.核心性質

與任意矩陣可交換：标量矩陣 ( kI ) 與任何同階方陣 ( A ) 相乘滿足 ( (kI)A = A(kI) )，即乘法可交換。
數乘運算的矩陣形式：标量矩陣的作用等同于用标量 ( k ) 對矩陣進行數乘，即 ( kI cdot A = kA )。

4.與對角矩陣的區别

對角矩陣：主對角線元素可以不同，如 ( text{diag}(2,5,7) )。
标量矩陣：主對角線元素必須相同，是對角矩陣的子集。

5.幾何意義

标量矩陣對應的線性變換是均勻縮放，即在所有坐标方向按相同比例縮放空間（例如放大2倍或縮小0.5倍）。

标量矩陣通過一個标量值統一縮放所有維度，簡化了矩陣運算，并在圖像處理、物理變換等領域有廣泛應用。