极限值英文解释翻译、极限值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 limit value
【化】 limiting value

分词翻译：

极限的英语翻译：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

专业解析

在汉英词典视角下，“极限值”（jíxiàn zhí）的数学概念可解释如下：

一、核心概念

汉语释义
极限值指函数或序列在自变量趋近某一特定值（或无穷大）时，因变量无限逼近的确定常数。例如：当 ( x to 0 ) 时，函数 ( frac{sin x}{x} ) 的极限值为 1。
英语对应术语
Limit Value（标准译名），或简称为Limit。

英文定义：The value that a function or sequence approaches as the input approaches some point or infinity.

二、数学定义与表达

形式化定义（ε-δ 语言）
对于函数 ( f(x) ) 在 ( x to a ) 时的极限值 ( L )：

$$ forall varepsilon > 0,exists delta > 0,text{若}0 < |x - a| < deltatext{则}|f(x) - L| < varepsilon. $$
常见符号
- 汉语：( lim_{{x to a}} f(x) = L )
- 英语：( lim_{{x to a}} f(x) = L )

三、应用场景

微积分基础
用于定义导数（瞬时变化率）和积分（面积累积），如：

导数：( f'(x) = lim_{{Delta x to 0}} frac{f(x+Delta x) - f(x)}{Delta x} )
工程与物理模型
描述瞬时速度、电路电流稳态值、材料应力临界点等连续变化过程。例如，RC电路中电容电压的极限值为电源电压。

四、常见误区辨析

极限值 vs 函数值：极限值未必等于该点函数值（如间断点）。
存在条件：极限存在需左、右极限相等（( lim{{x to a^-}} f(x) = lim{{x to a^+}} f(x) )）。

权威参考来源

《数学分析》（华东师范大学数学系编）——极限的严格定义与应用
Oxford Dictionary of Mathematics (6th ed.) —— "Limit" 词条释义
Khan Academy: Limits and Continuity —— 可视化教学与实例
《工程数学手册》（机械工业出版社）—— 极限在工程模型中的应用案例

本解释整合数学教材、专业词典及工程实践，符合汉英双语境下的术语规范性与学术严谨性。

网络扩展解释

极限值是数学分析中的核心概念，主要用于描述函数或数列在自变量趋近于某一特定点时表现出的趋势特性。以下是详细解释：

一、基本定义

函数极限
当自变量 (x) 无限接近某个值 (a)（记作 (x to a)）时，若函数 (f(x)) 的值无限趋近于一个确定的常数 (L)，则称 (L) 为 (f(x)) 在 (x to a) 时的极限，记为： $$ lim_{x to a} f(x) = L $$
数列极限
对于数列 ({a_n})，若当 (n) 无限增大时，(an) 无限趋近于常数 (L)，则称 (L) 为该数列的极限，记为： $$ lim{n to infty} a_n = L $$

二、直观理解

趋近但不一定到达
极限关注的是“趋势”，而非实际到达的值。例如，函数 (f(x) = frac{sin x}{x}) 在 (x to 0) 时极限为 1，尽管 (x=0) 处函数无定义。
左右极限
若 (x) 从左侧（(x to a^-)）和右侧（(x to a^+)）趋近于 (a) 时，函数分别趋近于 (L_1) 和 (L_2)，则当且仅当 (L_1 = L_2) 时，函数在 (x to a) 处的极限存在。

三、存在条件

收敛性
数列或函数需满足单调有界（如数列 (a_n = 1/n) 收敛于 0）或符合柯西收敛准则。
排除发散情况
若函数值振荡无界（如 (f(x) = sin(1/x)) 在 (x to 0) 时），则极限不存在。

四、应用领域

微积分基础
导数的定义 (f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}) 依赖极限概念。
工程与物理模型
如瞬时速度、曲线切线斜率、桥梁应力分析等均需通过极限描述变化率。
级数收敛性
判断无穷级数（如 ( sum_{n=1}^infty frac{1}{n} )）是否收敛需计算部分和数列的极限。

五、常见误区

极限与函数值的独立性
极限存在与否与函数在 (a) 点是否有定义无关。例如，(f(x) = frac{x-1}{x-1}) 在 (x=1) 处无定义，但 (lim_{x to 1} f(x) = 2)。
无穷大与极限的关系
“极限为无穷大”（如 (lim_{x to 0} frac{1}{x} = +infty)）仅表示趋势无界，严格意义上极限不存在。

总结来看，极限值通过数学语言精确描述了变量在无限趋近过程中的行为规律，是连接离散与连续、局部与整体的关键工具。