極限值英文解釋翻譯、極限值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 limit value
【化】 limiting value

分詞翻譯：

極限的英語翻譯：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

在漢英詞典視角下，“極限值”（jíxiàn zhí）的數學概念可解釋如下：

一、核心概念

漢語釋義
極限值指函數或序列在自變量趨近某一特定值（或無窮大）時，因變量無限逼近的确定常數。例如：當 ( x to 0 ) 時，函數 ( frac{sin x}{x} ) 的極限值為 1。
英語對應術語
Limit Value（标準譯名），或簡稱為Limit。

英文定義：The value that a function or sequence approaches as the input approaches some point or infinity.

二、數學定義與表達

形式化定義（ε-δ 語言）
對于函數 ( f(x) ) 在 ( x to a ) 時的極限值 ( L )：

$$ forall varepsilon > 0,exists delta > 0,text{若}0 < |x - a| < deltatext{則}|f(x) - L| < varepsilon. $$
常見符號
- 漢語：( lim_{{x to a}} f(x) = L )
- 英語：( lim_{{x to a}} f(x) = L )

三、應用場景

微積分基礎
用于定義導數（瞬時變化率）和積分（面積累積），如：

導數：( f'(x) = lim_{{Delta x to 0}} frac{f(x+Delta x) - f(x)}{Delta x} )
工程與物理模型
描述瞬時速度、電路電流穩态值、材料應力臨界點等連續變化過程。例如，RC電路中電容電壓的極限值為電源電壓。

四、常見誤區辨析

極限值 vs 函數值：極限值未必等于該點函數值（如間斷點）。
存在條件：極限存在需左、右極限相等（( lim{{x to a^-}} f(x) = lim{{x to a^+}} f(x) )）。

權威參考來源

《數學分析》（華東師範大學數學系編）——極限的嚴格定義與應用
Oxford Dictionary of Mathematics (6th ed.) —— "Limit" 詞條釋義
Khan Academy: Limits and Continuity —— 可視化教學與實例
《工程數學手冊》（機械工業出版社）—— 極限在工程模型中的應用案例

本解釋整合數學教材、專業詞典及工程實踐，符合漢英雙語境下的術語規範性與學術嚴謹性。

網絡擴展解釋

極限值是數學分析中的核心概念，主要用于描述函數或數列在自變量趨近于某一特定點時表現出的趨勢特性。以下是詳細解釋：

一、基本定義

函數極限
當自變量 (x) 無限接近某個值 (a)（記作 (x to a)）時，若函數 (f(x)) 的值無限趨近于一個确定的常數 (L)，則稱 (L) 為 (f(x)) 在 (x to a) 時的極限，記為： $$ lim_{x to a} f(x) = L $$
數列極限
對于數列 ({a_n})，若當 (n) 無限增大時，(an) 無限趨近于常數 (L)，則稱 (L) 為該數列的極限，記為： $$ lim{n to infty} a_n = L $$

二、直觀理解

趨近但不一定到達
極限關注的是“趨勢”，而非實際到達的值。例如，函數 (f(x) = frac{sin x}{x}) 在 (x to 0) 時極限為 1，盡管 (x=0) 處函數無定義。
左右極限
若 (x) 從左側（(x to a^-)）和右側（(x to a^+)）趨近于 (a) 時，函數分别趨近于 (L_1) 和 (L_2)，則當且僅當 (L_1 = L_2) 時，函數在 (x to a) 處的極限存在。

三、存在條件

收斂性
數列或函數需滿足單調有界（如數列 (a_n = 1/n) 收斂于 0）或符合柯西收斂準則。
排除發散情況
若函數值振蕩無界（如 (f(x) = sin(1/x)) 在 (x to 0) 時），則極限不存在。

四、應用領域

微積分基礎
導數的定義 (f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}) 依賴極限概念。
工程與物理模型
如瞬時速度、曲線切線斜率、橋梁應力分析等均需通過極限描述變化率。
級數收斂性
判斷無窮級數（如 ( sum_{n=1}^infty frac{1}{n} )）是否收斂需計算部分和數列的極限。

五、常見誤區

極限與函數值的獨立性
極限存在與否與函數在 (a) 點是否有定義無關。例如，(f(x) = frac{x-1}{x-1}) 在 (x=1) 處無定義，但 (lim_{x to 1} f(x) = 2)。
無窮大與極限的關系
“極限為無窮大”（如 (lim_{x to 0} frac{1}{x} = +infty)）僅表示趨勢無界，嚴格意義上極限不存在。

總結來看，極限值通過數學語言精确描述了變量在無限趨近過程中的行為規律，是連接離散與連續、局部與整體的關鍵工具。