连分式展开式英文解释翻译、连分式展开式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 continue-fraction expansion

分词翻译：

连的英语翻译：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【医】 sym-; syn-

分的英语翻译：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【计】 M
【医】 deci-; Div.; divi-divi

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

展开的英语翻译：

spread; unfold; deploy; evolve; open; carry out; splay; stream
【计】 deployment; expand; spread
【化】 development

专业解析

在汉英词典框架下，"连分式展开式"对应的英文术语为"continued fraction expansion"，指将实数或函数表达为无穷分数嵌套结构的数学方法。其基本形式为： $$ a_0 + frac{b_1}{a_1 + frac{b_2}{a_2 + frac{b_3}{a_3 + cdots}}} $$ 根据《数学分析基础》的定义，这种展开式具有两种标准类型：

简单连分式：分子均为1，即$b_n=1$，写作$a_0+frac{1}{a_1+frac{1}{a_2+cdots}}$
广义连分式：允许分子$b_n$为任意非零实数

在工程计算领域，连分式展开常用于有理函数逼近，特别是在滤波器设计和系统函数分解中。例如《数值分析原理》指出，其收敛速度优于泰勒级数展开，在奇异点附近仍保持有效计算性。

数论研究显示，黄金分割比的连分式展开呈现全1系数的特殊规律性，这类周期特性被应用于密码学中的伪随机序列生成。最新研究进展可参考《应用数学季刊》2024年关于非对称连分式收敛判据的论文。

网络扩展解释

连分式展开式（Continued Fraction Expansion）是一种用嵌套分数形式表示实数或函数的数学表达式，其基本结构为： $$ a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + cdots}}} $$ 其中，整数部分(a_0)为非负整数，后续的(a_1, a_2, a_3, ldots)均为正整数。以下是关键点解析：

1. 核心概念

简单连分式：分子均为1的展开形式（如上述公式），常用于表示无理数和有理数。
无限与有限展开：
- 有理数：展开式有限（例如( frac{13}{5} = 2 + frac{1}{1 + frac{1}{2}} )）。
- 无理数：展开式无限且可能具有周期性（如黄金分割比( phi = [1;1,1,1,ldots] )）。

2. 构造方法

欧几里得算法：将有理数转化为有限连分式，通过反复取整数部分和倒数余项实现。
迭代逼近：对无理数通过逐次截断展开式生成近似分数，例如圆周率( pi approx [3;7,15,1,ldots] )。

3. 应用领域

数值逼近：提供比十进制小数更高效的分数近似，例如( sqrt{2} approx 1 + frac{1}{2 + frac{1}{2}} )。
方程求解：用于求解佩尔方程（Pell's Equation）或微分方程的特殊解。
数论分析：研究数的无理性和超越性（如证明( e )的连分式具有规律性）。

4. 特性与优势

收敛速度快：相比级数展开，连分式通常以更少项达到更高精度。
唯一性：每个实数对应唯一的简单连分式展开（若截断到某一位）。

通过连分式展开式，数学家能够以结构化的方式揭示数的深层性质，并在计算和应用中提供独特的便利性。