三重标积英文解释翻译、三重标积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 triple scalar product

分词翻译：

三的英语翻译：

three; several; many
【计】 tri
【化】 trimethano-; trimethoxy
【医】 tri-

重的英语翻译：

again; layer; repeat; scale; weight
【计】 repetitive group
【医】 hyper-; weight; wt.

标的英语翻译：

mark; sign
【医】 guide; mark; marker; scale

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

专业解析

在矢量分析中，三重标积（Triple scalar product）是三个向量的混合运算形式，记作$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。其数学定义可表述为：先计算向量$mathbf{b}$与$mathbf{c}$的叉积，再将结果与向量$mathbf{a}$进行点积。该运算结果是一个标量值，具有以下核心特性：

几何意义
三重标积的绝对值等于由这三个向量构成的平行六面体的体积。当三个向量构成右手系时，计算结果为正；若为左手系则为负。这一性质在工程力学和计算机图形学中被广泛用于空间体积计算。
代数表达式
在笛卡尔坐标系中，可用行列式表示为： $$ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z c_x & c_y & c_z end{vmatrix} $$ 这一表达式与线性代数中的行列式性质直接相关。
轮换对称性
满足循环置换不变性：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b})$。但交换任意两个向量会改变符号，例如$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = -mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{b})$。
物理应用
在电磁场理论中，该运算用于计算磁场能量密度；在连续介质力学中，则用于应变张量分析。其标量特性使其在守恒量计算中具有特殊优势。

参考文献：

《矢量分析与张量计算》，高等教育出版社

MIT OpenCourseWare《工程数学》课程讲义

Wolfram MathWorld向量运算条目

《电磁场与电磁波》第4版，John Wiley & Sons出版

网络扩展解释

三重标积（又称混合积）是向量代数中的一个重要概念，涉及三个向量的运算。以下从几何和代数角度详细解释其意义：

定义与表达式
三重标积由三个向量 (vec{a})、(vec{b})、(vec{c}) 组成，表达式为 (vec{c} cdot (vec{a} times vec{b}))。它先计算向量 (vec{a}) 和 (vec{b}) 的叉积，再将结果与 (vec{c}) 进行点积，最终得到一个标量值。
几何意义
三重标积的绝对值等于以 (vec{a})、(vec{b})、(vec{c}) 为邻边的平行六面体的体积。具体来说：
- 当 (vec{c}) 与 (vec{a} times vec{b}) 同向时，值为正；
- 反向时，值为负；
- 若三个向量共面（平行六面体体积为零），则三重标积为零。
符号判断与右手法则
符号的正负由向量的方向决定，符合右手螺旋定则：将 (vec{a})、(vec{b}) 作为基底平面，若 (vec{c}) 在该平面法向量的正向侧，则值为正，反之为负。
应用示例
- 判断向量共面性：若三重标积为零，说明三个向量共面（线性相关）。
- 物理中的力矩计算：例如，力矩方向与作用点位置的三重标积相关。
数学性质
三重标积满足轮换对称性，即： [ vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) = vec{b} cdot (vec{c} times vec{a}) = vec{c} cdot (vec{a} times vec{b}) ] 交换任意两个向量会改变符号，例如 (vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) = -vec{a} cdot (vec{c} times vec{b}))。

通过以上分析可知，三重标积不仅是一个代数运算工具，更直观地反映了三维空间中向量组的几何关系。