曲线的转折点英文解释翻译、曲线的转折点的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【建】 curve break

分词翻译：

曲线的英语翻译：

curve
【医】 curve
【经】 curve

转折点的英语翻译：

turning point
【化】 break point
【经】 turning point

专业解析

在汉英词典视角下，“曲线的转折点”指曲线轨迹发生方向性变化的临界位置，数学与几何学中对应函数行为突变的关键位置。以下是分层解析：

一、汉语语义拆解

曲线（qūxiàn）
指非直线的连续弯曲轨迹，几何学中表示函数关系的图形化表达。

▶ 来源：《现代汉语词典》（第7版）

转折点（zhuǎnzhédiǎn）
原义指事物发展方向发生根本变化的节点，引申为数学曲线中切线斜率突变的位置。

▶ 来源：《牛津汉英词典》（Oxford Chinese Dictionary）

二、英文对应术语解析

英文译为"inflection point" 或"turning point"，二者存在细微差异：

Inflection point（拐点）：曲线凹凸性变化的点，即二阶导数变号处（如由凸转凹）。
例：The graph of ( f(x) = x ) has an inflection point at ( (0,0) ).

▶ 来源：Merriam-Webster数学词条

Turning point（转向点）：函数单调性变化的临界点，通常为一阶导数为零处（如局部极值点）。
例：The parabola ( y = x ) has a turning point at its vertex.

▶ 来源：Cambridge Dictionary数学释义

三、数学定义与判定条件

设函数 ( y = f(x) )，其转折点需满足以下条件之一：

一阶导数测试（Turning Point）：
[ f'(x) = 0 quad text{且} quad f'(x) text{ 在该点两侧异号} ]

二阶导数测试（Inflection Point）：
[ f''(x) = 0 quad text{且} quad f''(x) text{ 在该点两侧变号} ]

▶ 来源：Thomas' Calculus（高等教育出版社）

四、实际应用场景

经济学：成本收益曲线的拐点预示利润增长模式变化（如边际收益转折）。
工程学：应力-应变曲线的转向点标识材料弹性极限。
数据分析：时间序列的趋势转折指示关键事件影响（如疫情对经济指标的拐点效应）。
▶ 案例来源：Journal of Applied Econometrics 论文库

五、权威定义对比

概念	数学特征	典型函数案例
Turning Point	一阶导数为零，函数增减性反转	( y = x )
Inflection Point	二阶导数为零，曲线凹凸性变化	( y = x )

▶ 来源：美国数学学会（AMS）术语指南

网络扩展解释

曲线的转折点（也称拐点）是数学中描述曲线形状变化的关键概念，具体指曲线上凹凸性发生改变的位置。以下是详细解释：

1. 基本定义

几何意义：转折点是曲线从“凹”（向上弯曲）变为“凸”（向下弯曲），或相反变化的点。例如，函数 ( y = x ) 在 ( x=0 ) 处即为转折点（见图示）。
数学条件：若函数 ( f(x) ) 二阶可导，转折点需满足： $$ f''(x) = 0 quad text{且} quad f''(x) text{在两侧符号改变}。 $$

2. 与极值点的区别

极值点：由一阶导数 ( f'(x) = 0 ) 确定，表示函数增减趋势变化的位置。
转折点：由二阶导数 ( f''(x) = 0 ) 确定，反映曲线弯曲方向的变化。

3. 示例分析

以 ( f(x) = x ) 为例：

一阶导数：( f'(x) = 3x )（无极值点）。
二阶导数：( f''(x) = 6x )，当 ( x=0 ) 时 ( f''(x)=0 )，且两侧符号由负变正，故 ( (0,0) ) 是转折点。

4. 实际应用

转折点常用于优化问题、经济学模型（如成本曲线）和物理运动分析中，帮助识别系统行为的变化临界位置。

若需进一步探讨具体函数或应用场景，可提供更多信息。