群论英文解释翻译、群论的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 group theory

分词翻译：

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

论的英语翻译：

determine; discuss; in terms of; ism; statement; talk about; theory; view

专业解析

群论（Group Theory）是抽象代数的重要分支，研究具有特定运算结构的集合（称为“群”）及其性质。从汉英词典角度，其定义为：群（group）是满足封闭性、结合律、存在单位元与逆元四个公理的非空集合，对应英文术语为“a set equipped with a binary operation that satisfies closure, associativity, identity, and invertibility”。

核心概念解析

封闭性（Closure）
若$a,b in G$，则$a cdot b in G$，即群内任意元素的运算结果仍属于该群。

结合律（Associativity）
运算满足$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$，但交换律非必要。

单位元（Identity Element）
存在唯一元素$e in G$，使得对任意$a in G$，有$a cdot e = e cdot a = a$。

逆元（Inverse Element）
对任意$a in G$，存在$b in G$使得$a cdot b = b cdot a = e$，记为$a^{-1}$。

应用领域

群论在物理学（如粒子对称性）、化学（分子点群）、密码学（椭圆曲线加密）及几何学（晶体结构）中广泛应用。例如，标准模型基于李群SU(3)×SU(2)×U(1)构建。

权威参考文献

《代数结构与对称性》作者：Pierre Ramond（剑桥大学出版社，2010），系统阐述群论与物理对称性的关系。
美国数学学会（AMS）在线课程“Group Theory Fundamentals”，涵盖基本公理与实例。
《自然》期刊2018年综述“群论在现代密码学中的角色”，分析非交换群在加密算法中的应用。

网络扩展解释

群论（Group Theory）是数学中抽象代数的核心分支，主要研究群的结构、性质及其应用。以下从定义、核心性质、示例和应用场景四个方面详细解释：

一、群的定义

群是一个集合 ( G ) 与一个二元运算 ( * ) 的组合，满足以下四条公理：

封闭性：对任意 ( a, b in G )，运算结果 ( a * b ) 仍属于 ( G )。
结合律：( (a b) c = a (b c) )。
单位元存在：存在唯一元素 ( e in G )，使得对任意 ( a in G )，有 ( e a = a e = a )。
逆元存在：对任意 ( a in G )，存在唯一 ( b in G )，使得 ( a b = b a = e )。

二、核心性质

交换律不一定成立：若对任意 ( a, b in G )，有 ( a b = b a )，则称为阿贝尔群（如整数加法群）。
有限群与无限群：集合元素有限的群称为有限群（如模 ( n ) 的整数加法群），否则为无限群（如实数加法群）。
对称性：群常用来描述对称操作，例如正三角形的旋转和反射构成一个群。

三、典型例子

整数加法群：集合为所有整数，运算为加法，单位元是0，逆元是相反数。
置换群（对称群 ( S_n )）：集合为 ( n ) 个元素的排列方式，运算是排列的复合。
模 ( n ) 的加法群：集合为 ( {0, 1, 2, ..., n-1} )，运算为模 ( n ) 加法。

四、应用领域

物理学：描述粒子对称性（如标准模型中的李群）、晶体结构分类。
化学：分析分子对称性和分子轨道理论。
密码学：椭圆曲线密码学（ECC）基于有限群的离散对数问题。
几何学：研究几何变换的不变性（如欧几里得变换群）。

群论的核心价值在于用抽象结构统一描述现实中的对称性与操作，其思想贯穿现代数学与自然科学。