反双曲函数英文解释翻译、反双曲函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 inverse hyperbolic function

分词翻译：

反的英语翻译：

in reverse; on the contrary; turn over
【医】 contra-; re-; trans-

双的英语翻译：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【医】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英语翻译：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【医】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

反双曲函数是双曲函数的逆运算，在数学分析和工程应用中具有重要价值。以下从汉英对照与数学定义两个维度解析其核心概念：

一、核心函数分类

反双曲正弦函数（arsinh/arcsinh）
定义为双曲正弦函数的反函数，数学表达式为：

$$

text{arsinh}(x) = lnleft(x + sqrt{x + 1}right)

$$

该函数在积分运算和微分方程中常用于简化根式结构。
反双曲余弦函数（arcosh/arccosh）
仅适用于$x geq 1$，其表达式为：

$$

text{arcosh}(x) = lnleft(x + sqrt{x - 1}right)

$$

在悬链线方程和电磁场理论中描述空间曲线时发挥关键作用（参考：Springer《工程数学手册》）。
反双曲正切函数（artanh/arctanh）
定义域为$(-1,1)$，数学形式为：

$$

text{artanh}(x) = frac{1}{2}lnleft(frac{1+x}{1-x}right)

$$

常见于概率论中的logit变换和热力学参数转换（来源：Cambridge University Press《高等应用数学》）。

二、跨学科应用

物理领域：狭义相对论中的速度叠加公式通过artanh函数表达
工程建模：双曲函数及其反函数共同描述电缆自然下垂形态
金融数学：arsinh函数用于改进Black-Scholes模型中的波动率曲面拟合

注：具体函数符号存在区域差异，美式标注常使用"arc-"前缀（如arcsinh），而国际标准推荐"ar-"缩写（如arsinh）。

网络扩展解释

反双曲函数是双曲函数的反函数，其前缀“ar”代表面积（area），与反三角函数的“arc”（弧）形成对比。以下是详细解释：

1.定义与命名来源

双曲函数（如 $sinh x$、$cosh x$）的反函数统称为反双曲函数，包括反双曲正弦（$text{arsinh},x$）、反双曲余弦（$text{arcosh},x$）等。
命名中的“ar”源于双曲角的定义方式：双曲角由双曲线、原点直线与x轴映射所围面积决定，而非圆弧长度。

2.主要反双曲函数及公式

反双曲正弦
定义域：全体实数 $mathbb{R}$
公式：$text{arsinh},x = lnleft(x + sqrt{x + 1}right)$
性质：奇函数，单调递增。
反双曲余弦
定义域：$x geq 1$
公式：$text{arcosh},x = lnleft(x + sqrt{x - 1}right)$
性质：非奇非偶，仅在 $x geq 1$ 时单增。
反双曲正切
定义域：$-1 < x < 1$
公式：$text{artanh},x = frac{1}{2} lnleft(frac{1+x}{1-x}right)$
性质：奇函数，单调递增。

3.与反三角函数的区别

几何意义：反三角函数对应圆弧角，而反双曲函数对应双曲角（面积）。
函数特性：反双曲函数多通过对数函数表达，定义域和值域与反三角函数不同（如 $text{arcosh},x$ 定义域为 $[1,+infty)$）。

4.应用领域

反双曲函数常见于物理和工程问题，如悬链线方程、电磁学中的波动解等。

如需进一步了解其他反双曲函数（如反双曲余切、正割等），可参考中的完整公式列表。