双曲型偏微分方程英文解释翻译、双曲型偏微分方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 hyperbolic partial differential equation

分词翻译：

双曲型的英语翻译：

【计】 hyperbolic type

偏微分方程的英语翻译：

【计】 partial differential equation

专业解析

双曲型偏微分方程 (Hyperbolic Partial Differential Equation)

一、术语定义 (Terminology)

在数学与物理学中，双曲型偏微分方程（Hyperbolic PDE）是一类描述波动或传播现象的偏微分方程。其核心特征为：

解的特性：解在时空中的传播速度有限，且依赖区域为特征锥（如光锥）。
判别条件：通过方程系数的特征值符号判定。若系数矩阵的特征值均为非零实数，且符号不一致（即存在正负特征值），则为双曲型。

二、数学形式 (Mathematical Form)

标准双曲型方程的通式为：

a frac{partial u}{partial t} + b frac{partial u}{partial x partial t} + c frac{partial u}{partial x} = Fleft(x, t, u, frac{partial u}{partial x}, frac{partial u}{partial t}right)

其中判别式 ( b - 4ac > 0 )（类比于二次曲线的双曲性）。典型例子包括：

波动方程 (Wave Equation)：
$$ frac{partial u}{partial t} - c abla u = 0 $$

描述声波、光波等传播现象。

输运方程 (Transport Equation)：
$$ frac{partial u}{partial t} + mathbf{v} cdot abla u = 0 $$

表示物理量沿速度场 (mathbf{v}) 的输运过程。

三、物理意义与应用 (Physical Significance)

双曲型方程主导以下动态系统：

经典力学：弹性体振动（如弦振动、膜振动）；
电磁学：真空中的Maxwell方程组（电磁波传播）；
流体动力学：可压缩流体的Euler方程（激波形成）；
相对论：Einstein场方程中的引力波理论。

四、求解方法与特性 (Solution Methods)

特征线法 (Method of Characteristics)：沿特征曲线将PDE转化为ODE求解。
有限差分法 (Finite Difference Method)：显式格式（如Lax-Friedrichs）适用于双曲问题。
解的行为：允许间断解（如激波）、依赖初始条件而非边界条件。

权威参考文献 (Citations)

Evans, L. C. (2010). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. （第2章：双曲系统理论）
John, F. (1982). Partial Differential Equations. Springer-Verlag. （第5章：波动方程解法）
中国科学院数学名词审定委员会. 《数学名词》. 科学出版社. （术语标准定义）

注：引用来源为经典学术著作，未提供链接以确保内容权威性。如需进一步阅读，建议通过学术数据库（如SpringerLink、AMS）检索上述文献。

网络扩展解释

双曲型偏微分方程是偏微分方程的重要分类之一，主要用于描述振动、波动及相关物理现象。以下从多个角度进行解释：

1.基本定义与特征

双曲型偏微分方程的核心特征是描述能量传播的波动现象，其解通常表现为振动或指数函数的叠加形式。例如，一维波动方程（弦振动方程）是其典型代表： $$ frac{partial u}{partial t} = c frac{partial u}{partial x} $$ 这类方程的解具有能量守恒特性，且在数学上表现为特征方程存在实数根，对应波的传播方向。

2.数学判定方法

二阶方程：对于二阶线性偏微分方程，若系数矩阵在某点的惯性指数为（正负）或（负正），则称为双曲型方程。
高阶方程：若方程的特征方程存在多个不同的实根（与时间变量相关），则属于严格双曲型方程。

3.典型例子与应用

波动方程：描述弦振动、声波传播（一维到三维）等物理现象。
欧拉方程：在流体力学中，忽略粘性时可简化为双曲型方程组。
电磁学与弹性力学：涉及非线性波动问题时会引入双曲型方程。

4.求解方法

常用方法包括分离变量法（适用于规则边界问题）、达朗贝尔法（行波解）和积分变换法（如傅里叶变换）。例如，分离变量法可将波动方程拆解为时间与空间函数的乘积形式。

5.与其他类型的区别

双曲型方程与椭圆型（稳态问题，如热传导平衡）、抛物型（扩散问题，如热传导过程）方程的主要区别在于解的传播特性：双曲型方程的解具有有限传播速度，且依赖区域由特征线界定。

参考资料

基础定义与判定：
应用与求解方法：
高阶分类与扩展：