调和级数英文解释翻译、调和级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 harmonic progression; harmonic series
【经】 harmonic progression

分词翻译：

调的英语翻译：

melody; mix; move; suit well; transfer
【计】 debugging mode

和的英语翻译：

and; draw; gentle; kind; mild; harmonious; mix with; sum; summation
together with
【计】 ampersand
【医】 c.; cum

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

专业解析

调和级数是数学分析中的重要概念，其英文对应为"Harmonic Series"。该级数定义为无限项正整数的倒数之和，数学表达式为： $$ Hn = sum{k=1}^n frac{1}{k} = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 当$n$趋向无穷大时，调和级数呈现发散特性，即其和无限增长，尽管单项值逐渐趋近于零。这一性质最早由瑞士数学家欧拉严格证明。

核心特性与延伸定义

发散性证明
通过积分比较法可验证：调和级数的部分和增长速度与自然对数函数$ln n$相当，且差值收敛于欧拉-马歇罗尼常数$gamma approx 0.5772$。
广义调和级数
将调和级数扩展为$p$-级数$sum_{n=1}^infty frac{1}{n^p}$时，收敛性取决于参数$p$：当$p>1$时收敛，$p leq 1$时发散。

实际应用场景

声学谐波分析：弦振动产生的泛音频率构成调和序列
概率建模：在统计学中用于描述随机变量期望值的分布特性
计算机算法：分析算法时间复杂度时作为基准参考模型

历史溯源

14世纪法国学者奥雷姆首次发现调和级数发散现象，17世纪约翰·伯努利给出代数证明。现代研究揭示了该级数与黎曼ζ函数的内在关联，其中$zeta(1)$对应调和级数发散情形。

网络扩展解释

调和级数是数学中一个经典且重要的无穷级数，其定义为：

$$ H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots + frac{1}{n} $$

当 ( n to infty ) 时，称为调和级数。以下是其核心特性：

一、基本性质

发散性
尽管每一项 ( frac{1}{n} ) 随 ( n ) 增大趋近于0，但调和级数的和趋于无穷大。可通过积分判别法证明：比较级数与积分 ( int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx )（发散），从而得出调和级数发散。
增长速率
前 ( n ) 项和近似为： $$ H_n approx ln n + gamma + frac{1}{2n} - frac{1}{12n} $$ 其中 ( gamma approx 0.5772 ) 是欧拉-马歇罗尼常数。

二、应用与变体

数学领域
- 用于分析算法复杂度（如快速排序的平均情况）。
- 在概率论中，与随机变量期望值相关的问题（如“优惠券收集者问题”）。
物理领域
- 描述谐波振动（如弦的振动频率呈调和级数分布）。
变体级数
- 交错调和级数：( 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots = ln 2 )（条件收敛）。
- p级数：当 ( p > 1 ) 时，( sum_{n=1}^infty frac{1}{n^p} ) 收敛（调和级数是 ( p=1 ) 的特例）。

三、名称由来

“调和”一词源于音乐中的谐波（Harmonics），因弦乐振动时，波长比例为 ( 1:frac{1}{2}:frac{1}{3}:cdots )，与调和级数项对应。