調和級數英文解釋翻譯、調和級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 harmonic progression; harmonic series
【經】 harmonic progression

分詞翻譯：

調的英語翻譯：

melody; mix; move; suit well; transfer
【計】 debugging mode

和的英語翻譯：

and; draw; gentle; kind; mild; harmonious; mix with; sum; summation
together with
【計】 ampersand
【醫】 c.; cum

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

調和級數是數學分析中的重要概念，其英文對應為"Harmonic Series"。該級數定義為無限項正整數的倒數之和，數學表達式為： $$ Hn = sum{k=1}^n frac{1}{k} = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 當$n$趨向無窮大時，調和級數呈現發散特性，即其和無限增長，盡管單項值逐漸趨近于零。這一性質最早由瑞士數學家歐拉嚴格證明。

核心特性與延伸定義

發散性證明
通過積分比較法可驗證：調和級數的部分和增長速度與自然對數函數$ln n$相當，且差值收斂于歐拉-馬歇羅尼常數$gamma approx 0.5772$。
廣義調和級數
将調和級數擴展為$p$-級數$sum_{n=1}^infty frac{1}{n^p}$時，收斂性取決于參數$p$：當$p>1$時收斂，$p leq 1$時發散。

實際應用場景

聲學諧波分析：弦振動産生的泛音頻率構成調和序列
概率建模：在統計學中用于描述隨機變量期望值的分布特性
計算機算法：分析算法時間複雜度時作為基準參考模型

曆史溯源

14世紀法國學者奧雷姆首次發現調和級數發散現象，17世紀約翰·伯努利給出代數證明。現代研究揭示了該級數與黎曼ζ函數的内在關聯，其中$zeta(1)$對應調和級數發散情形。

網絡擴展解釋

調和級數是數學中一個經典且重要的無窮級數，其定義為：

$$ H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots + frac{1}{n} $$

當 ( n to infty ) 時，稱為調和級數。以下是其核心特性：

一、基本性質

發散性
盡管每一項 ( frac{1}{n} ) 隨 ( n ) 增大趨近于0，但調和級數的和趨于無窮大。可通過積分判别法證明：比較級數與積分 ( int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx )（發散），從而得出調和級數發散。
增長速率
前 ( n ) 項和近似為： $$ H_n approx ln n + gamma + frac{1}{2n} - frac{1}{12n} $$ 其中 ( gamma approx 0.5772 ) 是歐拉-馬歇羅尼常數。

二、應用與變體

數學領域
- 用于分析算法複雜度（如快速排序的平均情況）。
- 在概率論中，與隨機變量期望值相關的問題（如“優惠券收集者問題”）。
物理領域
- 描述諧波振動（如弦的振動頻率呈調和級數分布）。
變體級數
- 交錯調和級數：( 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + cdots = ln 2 )（條件收斂）。
- p級數：當 ( p > 1 ) 時，( sum_{n=1}^infty frac{1}{n^p} ) 收斂（調和級數是 ( p=1 ) 的特例）。

三、名稱由來

“調和”一詞源于音樂中的諧波（Harmonics），因弦樂振動時，波長比例為 ( 1:frac{1}{2}:frac{1}{3}:cdots )，與調和級數項對應。