伽羅瓦域英文解釋翻譯、伽羅瓦域的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Galois field

分詞翻譯：

伽的英語翻譯：

【化】 gal

羅的英語翻譯：

catch birds with a net; collect; display; net; sift; silk
【經】 gross

瓦的英語翻譯：

tile
【化】 tile; watt
【醫】 tile

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

伽羅瓦域（Galois Field，簡稱GF）是有限域的數學概念，由法國數學家Évariste Galois在19世紀提出。其定義為包含有限個元素的域，其中元素數量為素數$p$的幂次$p^n$（$n$為正整數），記作$GF(p^n)$。該結構滿足域的四則運算封閉性、結合律、交換律及分配律。

核心特性與運算規則

元素構成：每個伽羅瓦域的元素可表示為多項式系數在$GF(p)$上的次數小于$n$的多項式，例如$GF(2)$包含8個元素，對應二進制多項式系數組合。
模運算：域内運算需對不可約多項式取模，例如$GF(2)$中$x+x+1$常作為生成多項式（來源：Springer《Abstract Algebra》教材）。
應用領域：廣泛應用于糾錯編碼（如Reed-Solomon碼）、密碼學（AES算法）和通信系統（來源：IEEE Transactions on Information Theory）。

漢英術語對照與拓展

中文“伽羅瓦域”對應英文“Galois Field”，亦稱“有限域”（Finite Field）。其理論支撐了現代數字信號處理中的傅裡葉變換有限域版本（來源：美國數學學會MathSciNet數據庫）。在編碼理論中，$GF(2)$被用于二維碼和光盤數據冗餘校驗（來源：國際電信聯盟ITU-T标準文檔）。

網絡擴展解釋

伽羅瓦域（Galois field），又稱有限域（finite field），是數學中一種特殊的代數結構，由有限個元素構成，同時支持加、減、乘、除四則運算。以下是詳細解釋：

1.定義與基本性質

伽羅瓦域是紀念數學家伽羅瓦（Évariste Galois）而命名的。其核心特征包括：

有限性：元素的個數為素數 ( p ) 或素數的幂次 ( p^n )（( p ) 為素數，( n ) 為正整數）。
封閉性：對加法和乘法封閉，且每個非零元素都有乘法逆元，每個元素都有加法逆元。
運算規則：通常基于模運算（如模素數 ( p )）或多項式運算（如生成擴展域 ( text{GF}(p^n) )）。

2.數學結構與構造方法

素域（Prime Field）：最簡單的有限域是 ( text{GF}(p) )，由整數模素數 ( p ) 構成，例如 ( text{GF}(2) ) 包含元素 ({0, 1})，運算為模2加法和乘法。
擴展域（Extension Field）：通過多項式環構造，例如 ( text{GF}(2) ) 由不可約8次多項式生成，常用于編碼和密碼學。

3.重要定理與曆史背景

韋德伯恩定理（Wedderburn’s Theorem）：有限除環必為交換環，即有限域。
伽羅瓦理論：研究多項式方程根的可解性時引入有限域，例如置換根的位置保持方程不變性。

4.應用領域

密碼學：如AES加密算法基于 ( text{GF}(2) ) 實現字節運算。
糾錯編碼：裡德-所羅門碼（Reed-Solomon Code）利用有限域進行數據恢複。
計算機科學：有限運算在硬件設計和離散數學中廣泛應用。

示例：( text{GF}(2) ) 的運算表

加法（+）	0	1
0	0	1
1	1	0

乘法（×）	0	1
0	0	0
1	0	1

伽羅瓦域是有限元素的完備代數系統，其理論在抽象代數和應用科學中具有基石作用。如需進一步了解構造細節或擴展案例，可參考數學教材或專業文獻。