伽罗瓦域英文解释翻译、伽罗瓦域的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Galois field

分词翻译：

伽的英语翻译：

【化】 gal

罗的英语翻译：

catch birds with a net; collect; display; net; sift; silk
【经】 gross

瓦的英语翻译：

tile
【化】 tile; watt
【医】 tile

域的英语翻译：

field; region; territory
【计】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

专业解析

伽罗瓦域（Galois Field，简称GF）是有限域的数学概念，由法国数学家Évariste Galois在19世纪提出。其定义为包含有限个元素的域，其中元素数量为素数$p$的幂次$p^n$（$n$为正整数），记作$GF(p^n)$。该结构满足域的四则运算封闭性、结合律、交换律及分配律。

核心特性与运算规则

元素构成：每个伽罗瓦域的元素可表示为多项式系数在$GF(p)$上的次数小于$n$的多项式，例如$GF(2)$包含8个元素，对应二进制多项式系数组合。
模运算：域内运算需对不可约多项式取模，例如$GF(2)$中$x+x+1$常作为生成多项式（来源：Springer《Abstract Algebra》教材）。
应用领域：广泛应用于纠错编码（如Reed-Solomon码）、密码学（AES算法）和通信系统（来源：IEEE Transactions on Information Theory）。

汉英术语对照与拓展

中文“伽罗瓦域”对应英文“Galois Field”，亦称“有限域”（Finite Field）。其理论支撑了现代数字信号处理中的傅里叶变换有限域版本（来源：美国数学学会MathSciNet数据库）。在编码理论中，$GF(2)$被用于二维码和光盘数据冗余校验（来源：国际电信联盟ITU-T标准文档）。

网络扩展解释

伽罗瓦域（Galois field），又称有限域（finite field），是数学中一种特殊的代数结构，由有限个元素构成，同时支持加、减、乘、除四则运算。以下是详细解释：

1.定义与基本性质

伽罗瓦域是纪念数学家伽罗瓦（Évariste Galois）而命名的。其核心特征包括：

有限性：元素的个数为素数 ( p ) 或素数的幂次 ( p^n )（( p ) 为素数，( n ) 为正整数）。
封闭性：对加法和乘法封闭，且每个非零元素都有乘法逆元，每个元素都有加法逆元。
运算规则：通常基于模运算（如模素数 ( p )）或多项式运算（如生成扩展域 ( text{GF}(p^n) )）。

2.数学结构与构造方法

素域（Prime Field）：最简单的有限域是 ( text{GF}(p) )，由整数模素数 ( p ) 构成，例如 ( text{GF}(2) ) 包含元素 ({0, 1})，运算为模2加法和乘法。
扩展域（Extension Field）：通过多项式环构造，例如 ( text{GF}(2) ) 由不可约8次多项式生成，常用于编码和密码学。

3.重要定理与历史背景

韦德伯恩定理（Wedderburn’s Theorem）：有限除环必为交换环，即有限域。
伽罗瓦理论：研究多项式方程根的可解性时引入有限域，例如置换根的位置保持方程不变性。

4.应用领域

密码学：如AES加密算法基于 ( text{GF}(2) ) 实现字节运算。
纠错编码：里德-所罗门码（Reed-Solomon Code）利用有限域进行数据恢复。
计算机科学：有限运算在硬件设计和离散数学中广泛应用。

示例：( text{GF}(2) ) 的运算表

加法（+）	0	1
0	0	1
1	1	0

乘法（×）	0	1
0	0	0
1	0	1

伽罗瓦域是有限元素的完备代数系统，其理论在抽象代数和应用科学中具有基石作用。如需进一步了解构造细节或扩展案例，可参考数学教材或专业文献。