本征值方程英文解釋翻譯、本征值方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 eigenvalue equation

【計】 eigenvalue; intrinsic value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue

equation

本征值方程（Eigenvalue Equation）是線性代數和數學物理中的核心概念，指形如 ( Amathbf{v} = lambda mathbf{v} ) 的方程。其中：

方程描述線性變換中的不變性：算子 ( A ) 作用于向量 ( mathbf{v} ) 僅使其長度縮放 ( lambda ) 倍，方向不變。例如：

矩陣 ( A ) 的本征值方程：( Amathbf{v} = lambda mathbf{v} )。
量子力學中的定态薛定谔方程：( hat{H}psi = Epsi )，其中哈密頓算符 ( hat{H} ) 的本征值 ( E ) 代表能量（來源：David J. Griffiths《量子力學導論》）。

本征值對應系統的固有屬性：

數學基礎：Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第五版），定義本征值為“保持向量方向不變的縮放因子”。
物理應用：Arfken & Weber, Mathematical Methods for Physicists（第七版），詳述微分算子的本征值問題。
工程實踐：Golub & Van Loan, Matrix Computations（第四版），提供數值求解算法（如QR疊代法）。

本征值方程（又稱特征值方程）是數學和物理學中的重要概念，主要用于描述線性變換中的特殊性質。其基本形式為：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

其中：

數學意義
當線性變換A 作用于向量mathbf{v} 時，若結果僅使該向量發生縮放（不改變方向），則mathbf{v} 是A 的本征向量，縮放比例λ 即為對應的本征值。例如，若矩陣 $A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix}$，其本征值可通過解方程 $det(A - lambda I) = 0$ 求得，結果為 $lambda = 3$ 和 $lambda = 1$。
物理應用
在量子力學中，本征值方程描述物理量的測量結果。例如，哈密頓算符 $hat{H}$ 作用于波函數 $psi$ 時，若滿足 $hat{H}psi = Epsi$，則 $E$ 為能量本征值，對應系統的可能能量狀态。
求解方法
- 有限維矩陣：通過解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 求本征值，再代入 $(A - lambda I)mathbf{v} = 0$ 求本征向量。
- 微分算符（如量子力學中的動量算符）：需解微分方程邊界值問題，例如 $-ihbar frac{d}{dx}psi = ppsi$ 的解為平面波 $psi(x) = e^{ipx/hbar}$。

這一概念在振動分析、量子力學、數據降維（如PCA）等領域有廣泛應用，是理解線性系統核心行為的基礎工具。