可數無窮子集英文解釋翻譯、可數無窮子集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 countably-infinite subset

approve; but; can; may; need; yet

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

【計】 infinite subset

在數學集合論中，"可數無窮子集"（countably infinite subset）指代一種特殊的無限集合結構。該術語由三個核心部分構成：

可數性（Countability）：若集合中的元素能與自然數集$mathbb{N}$建立一一對應關系，則稱該集合為可數集。例如自然數集$mathbb{N}$本身、整數集$mathbb{Z}$均為可數無窮集。
無窮性（Infinity）：集合包含無限多個元素，且不存在最大元素或邊界限制。
子集關系（Subset）：該集合是另一個更大集合的真子集，例如有理數集$mathbb{Q}$是實數集$mathbb{R}$的可數無窮子集。

數學定義可表述為：設$S$為某集合的子集，若存在雙射函數$f: S to mathbb{N}$，則$S$為可數無窮子集。其基數（元素總量）與自然數集相同，記為$aleph_0$。

典型示例包括：

對比不可數集合時，可數無窮子集的關鍵特征在于其元素可被系統枚舉，例如實數集$mathbb{R}$因無法與$mathbb{N}$一一對應而被歸為不可數集，這一性質由康托爾對角線論證法嚴格證明。

引用來源：

“可數無窮子集”是集合論中的一個數學概念，需從以下角度理解：

可數無窮的定義
可數無窮（或稱“可列無窮”）指集合中的元素能與自然數集 $mathbb{N}$ 建立一一對應關系。例如：
- 自然數集 $mathbb{N}$ 本身；
- 整數集 $mathbb{Z}$（可通過排列如 $0,1,-1,2,-2,dots$ 實現一一對應）；
- 有理數集 $mathbb{Q}$（可通過對角線法枚舉）。
子集的性質
若集合 $A$ 的某個子集 $B$ 滿足可數無窮的條件，則稱 $B$ 是 $A$ 的可數無窮子集。例如：
- 實數集 $mathbb{R}$ 的子集 $mathbb{Q}$ 是可數無窮的；
- 複數集 $mathbb{C}$ 的子集 ${a+bi mid a,binmathbb{Z}}$ 也是可數無窮的。
與不可數集的關系
不可數集（如實數集）中必然存在可數無窮子集，但并非所有無限子集都可數。例如：
- 實數區間 $$ 不可數，但其子集 ${1, 1/2, 1/3, dots}$ 是可數無窮的；
- 若一個集合本身可數，則其所有無限子集均為可數無窮。
重要性
可數無窮子集是分析集合基數的基礎工具，常用于證明集合的可數性或不可數性（如康托爾對角線法）。它在測度論、概率論中也有應用，例如定義離散概率空間時需依賴可數無窮子集。

可數無窮子集是能與自然數一一對應的無限子集，存在于可數集或不可數集中，是研究集合大小和結構的關鍵概念。