可数无穷子集英文解释翻译、可数无穷子集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 countably-infinite subset

approve; but; can; may; need; yet

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

【计】 infinite subset

在数学集合论中，"可数无穷子集"（countably infinite subset）指代一种特殊的无限集合结构。该术语由三个核心部分构成：

可数性（Countability）：若集合中的元素能与自然数集$mathbb{N}$建立一一对应关系，则称该集合为可数集。例如自然数集$mathbb{N}$本身、整数集$mathbb{Z}$均为可数无穷集。
无穷性（Infinity）：集合包含无限多个元素，且不存在最大元素或边界限制。
子集关系（Subset）：该集合是另一个更大集合的真子集，例如有理数集$mathbb{Q}$是实数集$mathbb{R}$的可数无穷子集。

数学定义可表述为：设$S$为某集合的子集，若存在双射函数$f: S to mathbb{N}$，则$S$为可数无穷子集。其基数（元素总量）与自然数集相同，记为$aleph_0$。

典型示例包括：

对比不可数集合时，可数无穷子集的关键特征在于其元素可被系统枚举，例如实数集$mathbb{R}$因无法与$mathbb{N}$一一对应而被归为不可数集，这一性质由康托尔对角线论证法严格证明。

引用来源：

“可数无穷子集”是集合论中的一个数学概念，需从以下角度理解：

可数无穷的定义
可数无穷（或称“可列无穷”）指集合中的元素能与自然数集 $mathbb{N}$ 建立一一对应关系。例如：
- 自然数集 $mathbb{N}$ 本身；
- 整数集 $mathbb{Z}$（可通过排列如 $0,1,-1,2,-2,dots$ 实现一一对应）；
- 有理数集 $mathbb{Q}$（可通过对角线法枚举）。
子集的性质
若集合 $A$ 的某个子集 $B$ 满足可数无穷的条件，则称 $B$ 是 $A$ 的可数无穷子集。例如：
- 实数集 $mathbb{R}$ 的子集 $mathbb{Q}$ 是可数无穷的；
- 复数集 $mathbb{C}$ 的子集 ${a+bi mid a,binmathbb{Z}}$ 也是可数无穷的。
与不可数集的关系
不可数集（如实数集）中必然存在可数无穷子集，但并非所有无限子集都可数。例如：
- 实数区间 $$ 不可数，但其子集 ${1, 1/2, 1/3, dots}$ 是可数无穷的；
- 若一个集合本身可数，则其所有无限子集均为可数无穷。
重要性
可数无穷子集是分析集合基数的基础工具，常用于证明集合的可数性或不可数性（如康托尔对角线法）。它在测度论、概率论中也有应用，例如定义离散概率空间时需依赖可数无穷子集。

可数无穷子集是能与自然数一一对应的无限子集，存在于可数集或不可数集中，是研究集合大小和结构的关键概念。