克羅内克δ表示英文解釋翻譯、克羅内克δ表示的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 kronecker delta notation

分詞翻譯：

克羅内克的英語翻譯：

【計】 kronecker

表示的英語翻譯：

express; denote; figure; indicate; render; represent; show; denotation
expression
【化】 representation
【醫】 manifestation

專業解析

克羅内克δ（Kronecker delta）是離散數學和工程學中的基礎符號，其漢英定義及核心含義如下：

一、漢英術語對照與數學定義

中文術語：克羅内克δ（δ符號）
英文術語：Kronecker delta (δ symbol)

定義：克羅内克δ函數是一個二元離散函數，定義為：

$$ delta_{ij} = begin{cases} 1 & text{若 } i = j

0 & text{若 } i eq j end{cases} $$ 其中 (i) 和 (j) 為整數下标。該符號由德國數學家利奧波德·克羅内克（Leopold Kronecker）提出，用于簡化離散系統的數學表達。

二、核心功能與應用場景

單位矩陣表征
線上性代數中，克羅内克δ是單位矩陣 (mathbf{I}) 的元素，即 (I{ij} = delta{ij})。例如，3階單位矩陣可寫為：

$$ begin{bmatrix} delta{11} & delta{12} & delta{13}

delta{21} & delta{22} & delta{23}

delta{31} & delta{32} & delta_{33} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0

0 & 1 & 0

0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$ 這一性質在量子力學和計算機圖形學中廣泛應用。
離散信號處理
在數字信號處理中，克羅内克δ用于定義單位采樣序列：

$$ delta[n] = begin{cases} 1 & n=0

0 & n eq 0 end{cases} $$ 該序列是離散傅裡葉變換（DFT）和濾波器設計的理論基礎。

三、與狄拉克δ函數的區别

克羅内克δ（離散系統）常與狄拉克δ函數（連續系統）對比：

定義域：克羅内克δ作用于整數集 (mathbb{Z})，狄拉克δ作用于實數集 (mathbb{R})
積分性質：狄拉克δ滿足 (int{-infty}^{infty} delta(x)dx = 1)，而克羅内克δ具有歸一性 (sum{i=-infty}^{infty} delta_{ij} = 1)。

四、工程實踐意義

在電路分析中，克羅内克δ用于描述節點導納矩陣；在機器學習中，它被用于定義分類任務的損失函數（如0-1損失）。其數學簡潔性顯著降低了多維張量運算的複雜度。

權威參考文獻：

Weisstein, Eric W. "Kronecker Delta." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html
《數學物理方法》（Arfken & Weber），第7版，第1.5節
Oppenheim, A. V. Discrete-Time Signal Processing, Chapter 2. Prentice Hall.

網絡擴展解釋

克羅内克δ（Kronecker delta）是一個在數學和物理學中廣泛使用的基礎符號，其定義和主要應用如下：

1.定義與符號表示

克羅内克δ函數是一個二元函數，記作 $delta{ij}$，由德國數學家利奧波德·克羅内克提出。其定義為： $$ delta{ij} = begin{cases} 1 & text{當 } i = j, 0 & text{當 } i eq j. end{cases} $$ 這意味着當兩個下标相等時取值為1，否則為0。

2.核心性質

對稱性：$delta{ij} = delta{ji}$，即下标順序不影響結果。
篩選性：在求和運算中，$sum{i} delta{ij} a_i = a_j$，可将複雜表達式簡化為特定項。
離散性：與狄拉克δ函數（連續型）不同，克羅内克δ僅適用于離散下标場景。

3.應用場景

理論物理：用于簡化張量運算，例如在廣義相對論或量子力學中表示基向量的正交關系。
線性代數：表示單位矩陣的元素，即單位矩陣可寫為 $I{ij} = delta{ij}$。
離散數學：作為離散集合的指示函數，例如在組合數學中标記特定條件。

4.與其他符號的區分

克羅内克δ常與狄拉克δ函數混淆，但兩者關鍵區别在于：

克羅内克δ：離散變量，用于有限或可數下标。
狄拉克δ：連續變量，屬于廣義函數，用于積分運算。

5.擴展意義

克羅内克δ不僅是數學工具，更是理論物理中表述對稱性、規範不變性等核心概念的基礎。例如，它在量子力學中用于描述态矢量的正交歸一性。

如需更深入的數學推導或物理應用案例，可參考線性代數或理論物理教材，或通過來源網頁（如）進一步探索。