克罗内克δ表示英文解释翻译、克罗内克δ表示的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kronecker delta notation

分词翻译：

克罗内克的英语翻译：

【计】 kronecker

表示的英语翻译：

express; denote; figure; indicate; render; represent; show; denotation
expression
【化】 representation
【医】 manifestation

专业解析

克罗内克δ（Kronecker delta）是离散数学和工程学中的基础符号，其汉英定义及核心含义如下：

一、汉英术语对照与数学定义

中文术语：克罗内克δ（δ符号）
英文术语：Kronecker delta (δ symbol)

定义：克罗内克δ函数是一个二元离散函数，定义为：

$$ delta_{ij} = begin{cases} 1 & text{若 } i = j

0 & text{若 } i eq j end{cases} $$ 其中 (i) 和 (j) 为整数下标。该符号由德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）提出，用于简化离散系统的数学表达。

二、核心功能与应用场景

单位矩阵表征
在线性代数中，克罗内克δ是单位矩阵 (mathbf{I}) 的元素，即 (I{ij} = delta{ij})。例如，3阶单位矩阵可写为：

$$ begin{bmatrix} delta{11} & delta{12} & delta{13}

delta{21} & delta{22} & delta{23}

delta{31} & delta{32} & delta_{33} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0

0 & 1 & 0

0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$ 这一性质在量子力学和计算机图形学中广泛应用。
离散信号处理
在数字信号处理中，克罗内克δ用于定义单位采样序列：

$$ delta[n] = begin{cases} 1 & n=0

0 & n eq 0 end{cases} $$ 该序列是离散傅里叶变换（DFT）和滤波器设计的理论基础。

三、与狄拉克δ函数的区别

克罗内克δ（离散系统）常与狄拉克δ函数（连续系统）对比：

定义域：克罗内克δ作用于整数集 (mathbb{Z})，狄拉克δ作用于实数集 (mathbb{R})
积分性质：狄拉克δ满足 (int{-infty}^{infty} delta(x)dx = 1)，而克罗内克δ具有归一性 (sum{i=-infty}^{infty} delta_{ij} = 1)。

四、工程实践意义

在电路分析中，克罗内克δ用于描述节点导纳矩阵；在机器学习中，它被用于定义分类任务的损失函数（如0-1损失）。其数学简洁性显著降低了多维张量运算的复杂度。

权威参考文献：

Weisstein, Eric W. "Kronecker Delta." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html
《数学物理方法》（Arfken & Weber），第7版，第1.5节
Oppenheim, A. V. Discrete-Time Signal Processing, Chapter 2. Prentice Hall.

网络扩展解释

克罗内克δ（Kronecker delta）是一个在数学和物理学中广泛使用的基础符号，其定义和主要应用如下：

1.定义与符号表示

克罗内克δ函数是一个二元函数，记作 $delta{ij}$，由德国数学家利奥波德·克罗内克提出。其定义为： $$ delta{ij} = begin{cases} 1 & text{当 } i = j, 0 & text{当 } i eq j. end{cases} $$ 这意味着当两个下标相等时取值为1，否则为0。

2.核心性质

对称性：$delta{ij} = delta{ji}$，即下标顺序不影响结果。
筛选性：在求和运算中，$sum{i} delta{ij} a_i = a_j$，可将复杂表达式简化为特定项。
离散性：与狄拉克δ函数（连续型）不同，克罗内克δ仅适用于离散下标场景。

3.应用场景

理论物理：用于简化张量运算，例如在广义相对论或量子力学中表示基向量的正交关系。
线性代数：表示单位矩阵的元素，即单位矩阵可写为 $I{ij} = delta{ij}$。
离散数学：作为离散集合的指示函数，例如在组合数学中标记特定条件。

4.与其他符号的区分

克罗内克δ常与狄拉克δ函数混淆，但两者关键区别在于：

克罗内克δ：离散变量，用于有限或可数下标。
狄拉克δ：连续变量，属于广义函数，用于积分运算。

5.扩展意义

克罗内克δ不仅是数学工具，更是理论物理中表述对称性、规范不变性等核心概念的基础。例如，它在量子力学中用于描述态矢量的正交归一性。

如需更深入的数学推导或物理应用案例，可参考线性代数或理论物理教材，或通过来源网页（如）进一步探索。