極限序數英文解釋翻譯、極限序數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 limit ordinal

分詞翻譯：

極限的英語翻譯：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

序數的英語翻譯：

ordinal
【計】 ordinal number; sequency
【經】 ordinal number

專業解析

極限序數（Limit Ordinal）是集合論序數理論中的核心概念，指非後繼序數的序數，即沒有直接前驅的序數。其漢英對照釋義及詳解如下：

極限序數（Limit Ordinal）

詞性：名詞（Mathematics）

英式發音：/ˈlɪmɪt ˈɔːdɪnəl/

定義

在序數理論中，極限序數是指不能表示為任何序數的後繼（successor）的序數。換言之，若序數 (lambda) 滿足：

[ forall alpha < lambda, quad alpha + 1 < lambda ]

則 (lambda) 為極限序數。其本質是序數序列中的“極限點”，而非通過後繼運算直接生成。

關鍵特性

非後繼性
極限序數無法寫成 (beta + 1) 的形式（(beta) 為某序數）。例如：
- (omega)（最小無限序數）是極限序數，因 (omega = {0, 1, 2, ldots}) 無最大元。
- (omega times 2 = {0, 1, ldots, omega, omega+1, ldots}) 也是極限序數。
拓撲意義
在序數拓撲中，極限序數對應序數鍊的“聚點”，即小于它的序數序列可無限逼近但不可達（如自然數序列收斂于 (omega)）。
構造基礎
極限序數是定義超限歸納法與超限遞歸的基礎。例如，通過極限步驟定義序數運算：

[ alpha + lambda = sup { alpha + beta mid beta < lambda } ]

其中 (lambda) 為極限序數。

實例對比

序數類型	示例	是否極限序數
後繼序數	(1, 2, omega+1)	否
極限序數	(omega, omega times 2)	是
零（空集序數）	(0)	否（視為後繼？）

注：部分文獻将 (0) 單獨分類，因其無前驅，但通常不視為極限序數。

數學意義與應用

超限歸納法：極限序數對應歸納證明的“極限步驟”，需驗證性質在極限處保持（來源：Jech, Set Theory）。
基數定義：阿列夫數 (aleph_alpha) 中，若 (alpha) 為極限序數，則 (alephalpha = bigcup{beta < alpha} aleph_beta)（來源：Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs）。

權威參考來源

《集合論基礎》（Thomas Jech）：明确極限序數的公理化定義及在ZFC系統中的作用。
《超限數理論》（Georg Cantor）：原始文獻提出序數分類，極限序數為超限序數核心概念。
《數學百科全書》（Encyclopedia of Mathematics）：線上條目 "Limit Ordinal" 詳述其拓撲與代數性質。

正文内容嚴格依據集合論标準定義，融合漢英術語對照與實例分析，符合數學領域（專業性、權威性、可信度）要求。

網絡擴展解釋

極限序數是集合論中的一個重要概念，其定義和特性可綜合多個權威來源進行解釋：

定義

極限序數是指非零且非後繼序數的序數。具體來說：

非零：排除空集對應的序數0。
非後繼序數：不存在某個序數β，使得該序數等于β的直接後繼（即無法表示為β+1）。

數學符號表示

若序數α滿足： $$ forall beta in text{On}(alpha eq beta + 1) $$ 則α為極限序數。

例子與特性

最小極限序數：ω（自然數集合的序數），因為不存在自然數n使得n+1=ω。
結構特性：極限序數無法通過有限次“+1”操作從0得到，例如ω是自然數的“極限”，但ω本身不可達。
其他例子：ω·2、ω²等也是極限序數，它們均無法表示為某個序數的直接後繼。

與後繼序數的區别

後繼序數：形如β+1的序數（如1, 2, ω+1），存在明确的前驅β。
極限序數：無前驅，代表某種“累積”或“不可達”的邊界，如ω是自然數無限延伸的終點。

應用與意義

在公理集合論中，極限序數用于定義無限集合的層次結構（如超限歸納法），是構建更複雜序數的基礎。