擴充域英文解釋翻譯、擴充域的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 extended range

分詞翻譯：

擴充的英語翻譯：

augment; expansion; extend; extension; strengthen
【經】 expand; expansion

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

在數學（特别是抽象代數）中，“擴充域”（英文：Extension Field）是一個核心概念，指一個包含另一個給定域作為其子域的域。以下是其詳細解釋：

基本定義
設 ( F ) 和 ( E ) 都是域。如果 ( F ) 是 ( E ) 的一個子域（即 ( F subseteq E ) 且 ( F ) 本身關于 ( E ) 的加法和乘法構成域），那麼稱 ( E ) 是 ( F ) 的一個擴充域（或稱域擴張），記作 ( E/F )。此時，( F ) 稱為 ( E/F ) 的基域（Base Field）。

例如：複數域 (mathbb{C}) 是實數域 (mathbb{R}) 的擴充域 ((mathbb{C}/mathbb{R}))，實數域 (mathbb{R}) 是有理數域 (mathbb{Q}) 的擴充域 ((mathbb{R}/mathbb{Q}))。
數學表示與關系
- 包含關系：擴充域 ( E ) 包含基域 ( F )，即 ( F subseteq E )。
- 向量空間結構：一個重要的觀點是将擴充域 ( E ) 視為基域 ( F ) 上的一個向量空間。這個向量空間的維數稱為域擴張 ( E/F ) 的次數（Degree），記作 ([E:F])。如果 ([E:F]) 有限，則稱 ( E/F ) 是有限擴張；否則稱為無限擴張。
  例如：([mathbb{C}:mathbb{R}] = 2) (基為 ({1, i}))，([mathbb{R}:mathbb{Q}] = infty)。
核心性質與意義
- 代數元與超越元：對于 ( E ) 中的元素 (alpha)，如果存在非零多項式 ( f(x) in F[x] ) 使得 ( f(alpha) = 0 )，則稱 (alpha) 在 ( F ) 上是代數的（Algebraic）；否則稱為超越的（Transcendental）。如果 ( E ) 中所有元素在 ( F ) 上都是代數的，則稱 ( E/F ) 是代數擴張；否則稱為超越擴張。
  例如：在 (mathbb{C}/mathbb{Q}) 中，(sqrt{2}) 是 (mathbb{Q}) 上的代數元（滿足 (x - 2 = 0)），而 (pi) 和 (e) 是 (mathbb{Q}) 上的超越元。
- 單擴張：由基域 ( F ) 添加一個元素 (alpha) 生成的擴充域記為 ( F(alpha) )，它是包含 ( F ) 和 (alpha) 的最小的域。若 (alpha) 是代數元，則 ( F(alpha) ) 是有限維 ( F )-向量空間（即 ([F(alpha):F]) 有限）。
- 伽羅瓦理論的基礎：域擴張，特别是有限伽羅瓦擴張（滿足特定條件的有限可分正規擴張），是伽羅瓦理論研究的核心對象，該理論深刻揭示了多項式方程根式解的條件與域的自同構群之間的聯繫。

參考來源：

該定義和核心概念是抽象代數（Abstract Algebra）和域論（Field Theory）中的标準内容，可見于大學本科及研究生水平的代數學教材，如 Dummit & Foote 的 Abstract Algebra (Chapter 13, 14)， Lang 的 Algebra (Chapter V)， Artin 的 Algebra (Chapter 13) 等經典著作。線上數學百科全書如 MathWorld (Wolfram Research) 和 Encyclopaedia of Mathematics (Springer) 也提供了權威概述。

網絡擴展解釋

“擴充域”是一個數學概念，通常指通過擴展原有數域來形成更大的數域，以下是詳細解釋：

1.基本定義

“擴充域”指在原有數域的基礎上，通過添加新的元素（如無理數、超越數或代數元），形成一個包含原域的更大數域。例如，有理數域$mathbb{Q}$添加$sqrt{2}$後形成的新域$mathbb{Q}(sqrt{2})$，即為一種擴域。

2.核心目的

擴域的目的是解決原域中無法完成的操作或方程求解問題。例如，在$mathbb{Q}$中無法解方程$x=2$，但通過擴充域後，$sqrt{2}$被包含在新域中，問題迎刃而解。

3.分類與示例

純擴域：通過添加某個數的根（如$sqrt{n}$或$sqrt{m}$）形成的擴域。例如，$mathbb{Q}(sqrt{3})$是有理數域的三次純擴域。
代數擴域：添加代數元（滿足某個多項式方程的元素）形成的擴域。
超越擴域：添加超越數（如$pi$或$e$）形成的擴域。

4.應用領域

擴域理論在代數數論、伽羅瓦理論及密碼學中有重要應用，例如研究多項式方程的根的可解性。

5.與非數學用法的區别

日常語境中的“擴充”多指擴大範圍（如市場拓展），而數學中的“擴充域”嚴格遵循封閉運算規則（加減乘除後仍屬于該域）。

總結來說，“擴充域”是數學中通過添加元素擴展原域的結構，既保留了原域性質，又解決了其局限性。具體應用需結合不同擴域類型分析。