扩充域英文解释翻译、扩充域的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 extended range

分词翻译：

扩充的英语翻译：

augment; expansion; extend; extension; strengthen
【经】 expand; expansion

域的英语翻译：

field; region; territory
【计】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

专业解析

在数学（特别是抽象代数）中，“扩充域”（英文：Extension Field）是一个核心概念，指一个包含另一个给定域作为其子域的域。以下是其详细解释：

基本定义
设 ( F ) 和 ( E ) 都是域。如果 ( F ) 是 ( E ) 的一个子域（即 ( F subseteq E ) 且 ( F ) 本身关于 ( E ) 的加法和乘法构成域），那么称 ( E ) 是 ( F ) 的一个扩充域（或称域扩张），记作 ( E/F )。此时，( F ) 称为 ( E/F ) 的基域（Base Field）。

例如：复数域 (mathbb{C}) 是实数域 (mathbb{R}) 的扩充域 ((mathbb{C}/mathbb{R}))，实数域 (mathbb{R}) 是有理数域 (mathbb{Q}) 的扩充域 ((mathbb{R}/mathbb{Q}))。
数学表示与关系
- 包含关系：扩充域 ( E ) 包含基域 ( F )，即 ( F subseteq E )。
- 向量空间结构：一个重要的观点是将扩充域 ( E ) 视为基域 ( F ) 上的一个向量空间。这个向量空间的维数称为域扩张 ( E/F ) 的次数（Degree），记作 ([E:F])。如果 ([E:F]) 有限，则称 ( E/F ) 是有限扩张；否则称为无限扩张。
  例如：([mathbb{C}:mathbb{R}] = 2) (基为 ({1, i}))，([mathbb{R}:mathbb{Q}] = infty)。
核心性质与意义
- 代数元与超越元：对于 ( E ) 中的元素 (alpha)，如果存在非零多项式 ( f(x) in F[x] ) 使得 ( f(alpha) = 0 )，则称 (alpha) 在 ( F ) 上是代数的（Algebraic）；否则称为超越的（Transcendental）。如果 ( E ) 中所有元素在 ( F ) 上都是代数的，则称 ( E/F ) 是代数扩张；否则称为超越扩张。
  例如：在 (mathbb{C}/mathbb{Q}) 中，(sqrt{2}) 是 (mathbb{Q}) 上的代数元（满足 (x - 2 = 0)），而 (pi) 和 (e) 是 (mathbb{Q}) 上的超越元。
- 单扩张：由基域 ( F ) 添加一个元素 (alpha) 生成的扩充域记为 ( F(alpha) )，它是包含 ( F ) 和 (alpha) 的最小的域。若 (alpha) 是代数元，则 ( F(alpha) ) 是有限维 ( F )-向量空间（即 ([F(alpha):F]) 有限）。
- 伽罗瓦理论的基础：域扩张，特别是有限伽罗瓦扩张（满足特定条件的有限可分正规扩张），是伽罗瓦理论研究的核心对象，该理论深刻揭示了多项式方程根式解的条件与域的自同构群之间的联系。

参考来源：

该定义和核心概念是抽象代数（Abstract Algebra）和域论（Field Theory）中的标准内容，可见于大学本科及研究生水平的代数学教材，如 Dummit & Foote 的 Abstract Algebra (Chapter 13, 14)， Lang 的 Algebra (Chapter V)， Artin 的 Algebra (Chapter 13) 等经典著作。在线数学百科全书如 MathWorld (Wolfram Research) 和 Encyclopaedia of Mathematics (Springer) 也提供了权威概述。

网络扩展解释

“扩充域”是一个数学概念，通常指通过扩展原有数域来形成更大的数域，以下是详细解释：

1.基本定义

“扩充域”指在原有数域的基础上，通过添加新的元素（如无理数、超越数或代数元），形成一个包含原域的更大数域。例如，有理数域$mathbb{Q}$添加$sqrt{2}$后形成的新域$mathbb{Q}(sqrt{2})$，即为一种扩域。

2.核心目的

扩域的目的是解决原域中无法完成的操作或方程求解问题。例如，在$mathbb{Q}$中无法解方程$x=2$，但通过扩充域后，$sqrt{2}$被包含在新域中，问题迎刃而解。

3.分类与示例

纯扩域：通过添加某个数的根（如$sqrt{n}$或$sqrt{m}$）形成的扩域。例如，$mathbb{Q}(sqrt{3})$是有理数域的三次纯扩域。
代数扩域：添加代数元（满足某个多项式方程的元素）形成的扩域。
超越扩域：添加超越数（如$pi$或$e$）形成的扩域。

4.应用领域

扩域理论在代数数论、伽罗瓦理论及密码学中有重要应用，例如研究多项式方程的根的可解性。

5.与非数学用法的区别

日常语境中的“扩充”多指扩大范围（如市场拓展），而数学中的“扩充域”严格遵循封闭运算规则（加减乘除后仍属于该域）。

总结来说，“扩充域”是数学中通过添加元素扩展原域的结构，既保留了原域性质，又解决了其局限性。具体应用需结合不同扩域类型分析。