空集英文解釋翻譯、空集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 empty set; null set

empty; hollow; air; for nothing; vacancy
【計】 empty; null
【醫】 keno-
【經】 for nothing

collect; collection; gather; volume
【電】 set

空集（Empty Set）是集合論中的基礎概念，指不包含任何元素的集合，其英文對應術語為"empty set"。在數學符號系統中，空集通常用符號∅或{}表示。根據《數學分析》教材定義，空集具有以下核心性質：

元素的唯一性：對于任意集合A，空集都是A的子集（∀A: ∅ ⊆ A），這是公理集合論中的基本定理。
運算特性：與空集相關的并集、交集運算遵循特殊規律，例如A ∪ ∅ = A，A ∩ ∅ = ∅，這些特性在離散數學中具有基礎性地位（參考：Wolfram MathWorld）。
邏輯命題載體：在數理邏輯中，空集常被用作反證法中的初始條件，例如通過歸謬法證明存在性命題時，空集作為矛盾載體出現（《數理邏輯基礎》，高等教育出版社）。

該概念在計算機科學中具有實際應用價值，例如在數據庫查詢中，空集代表無匹配結果的查詢返回（SQL标準文檔ISO/IEC 9075）。現代數學教育體系通常将空集作為集合論教學的起點，美國數學協會（MAA）的課程大綱明确将其列為離散數學必修内容。

空集是數學中集合論的基本概念，指不含任何元素的集合，通常用符號∅或{}表示。以下是詳細解釋：

唯一性：所有空集都相等。根據集合的外延公理（元素完全相同的集合視為同一集合），空集是唯一的。
子集關系：空集是任何集合的子集。例如，對于集合A，公式∅ ⊆ A恒成立。
運算特性：
- 并集：空集與任何集合的并集為該集合本身（∅ ∪ A = A）。
- 交集：空集與任何集合的交集仍為空集（∅ ∩ A = ∅）。
- 笛卡爾積：空集與任何集合的笛卡爾積仍為空集（∅ × A = ∅）。

空集與數字0不同：

空集是集合論中“無”的形式化表達，雖無元素，但通過其唯一性和運算規則，成為數學體系的重要基礎。