英语翻译：

【计】 empty set; null set

分词翻译：

空的英语翻译：

empty; hollow; air; for nothing; vacancy
【计】 empty; null
【医】 keno-
【经】 for nothing

集的英语翻译：

collect; collection; gather; volume
【电】 set

专业解析

空集（Empty Set）是集合论中的基础概念，指不包含任何元素的集合，其英文对应术语为"empty set"。在数学符号系统中，空集通常用符号∅或{}表示。根据《数学分析》教材定义，空集具有以下核心性质：

1. 元素的唯一性：对于任意集合A，空集都是A的子集（∀A: ∅ ⊆ A），这是公理集合论中的基本定理。
2. 运算特性：与空集相关的并集、交集运算遵循特殊规律，例如A ∪ ∅ = A，A ∩ ∅ = ∅，这些特性在离散数学中具有基础性地位（参考：Wolfram MathWorld）。
3. 逻辑命题载体：在数理逻辑中，空集常被用作反证法中的初始条件，例如通过归谬法证明存在性命题时，空集作为矛盾载体出现（《数理逻辑基础》，高等教育出版社）。

该概念在计算机科学中具有实际应用价值，例如在数据库查询中，空集代表无匹配结果的查询返回（SQL标准文档ISO/IEC 9075）。现代数学教育体系通常将空集作为集合论教学的起点，美国数学协会（MAA）的课程大纲明确将其列为离散数学必修内容。

网络扩展解释

空集是数学中集合论的基本概念，指不含任何元素的集合，通常用符号∅或{}表示。以下是详细解释：

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1.定义与符号

• 定义：空集是唯一没有元素的集合。例如，集合{x | x ≠ x}（所有不等于自身的元素构成的集合）即为空集，因为不存在这样的元素。
• 符号：空集的标准符号为∅（Unicode：U+2205），来源于丹麦字母，也可写作{}。

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2.性质与特点

• 唯一性：所有空集都相等。根据集合的外延公理（元素完全相同的集合视为同一集合），空集是唯一的。
• 子集关系：空集是任何集合的子集。例如，对于集合A，公式∅ ⊆ A恒成立。
• 运算特性：
  • 并集：空集与任何集合的并集为该集合本身（∅ ∪ A = A）。
  • 交集：空集与任何集合的交集仍为空集（∅ ∩ A = ∅）。
  • 笛卡尔积：空集与任何集合的笛卡尔积仍为空集（∅ × A = ∅）。

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3.与“零”的区别

空集与数字0不同：

• 基数（元素个数）：空集的基数为0，但0是一个数值，而空集是一个集合。
• 存在性：空集是一个存在的集合，而0是数的概念。

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4.应用场景

• 数学逻辑：表示无解的方程解集（如{x | x² + 1 = 0}在实数范围内为空集）。
• 计算机科学：表示无结果的数据库查询或初始状态（如空列表、空数组）。

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5.注意事项

• 空集与单元素集合：空集∅ ≠ {∅}，后者是包含一个元素（空集本身）的集合。
• 幂集：空集的幂集是{∅}，即包含空集本身的集合。

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空集是集合论中“无”的形式化表达，虽无元素，但通过其唯一性和运算规则，成为数学体系的重要基础。

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