微分算子英文解釋翻譯、微分算子的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differential operator

分詞翻譯：

微分的英語翻譯：

【計】 differential calculus
【經】 differential

算子的英語翻譯：

functor; operator

專業解析

微分算子（Differential Operator）是數學分析及物理學中的核心概念，指作用于函數空間并執行微分運算的線性算子。從漢英詞典視角，“微分算子”對應英文術語“differential operator”，定義為一種将函數映射為其導數的運算符。

數學定義與表達

微分算子的基本形式可表示為： $$ L = sum_{|alpha| leq k} a_alpha(x) D^alpha $$ 其中，$D^alpha$為多變量微分運算符，$a_alpha(x)$為系數函數，$k$為算子的階數。例如，一階導數算子$D = frac{d}{dx}$作用于函數$f(x)$時，輸出其導函數$f'(x)$。

常見類型與應用

拉普拉斯算子（Laplacian）
表達式為$ abla$，用于描述物理場的擴散現象，如熱傳導方程$frac{partial u}{partial t} = abla u$。

哈密頓算子（Hamiltonian）
在量子力學中寫作$H = -frac{hbar}{2m} abla + V(x)$，用于計算系統能量。

斯托克斯算子
應用于流體力學，描述粘性流體的運動規律。

學科交叉性

微分算子在偏微分方程理論、量子場論（如達朗貝爾算子$Box = frac{1}{c}frac{partial}{partial t} - abla$）及工程控制系統中均有重要應用。其性質研究涉及泛函分析、微分幾何等多個數學分支。

網絡擴展解釋

微分算子是數學中用于對函數進行微分運算的線性算子，常見于微分方程、泛函分析和物理學等領域。以下是其核心概念的解釋：

1. 基本定義

微分算子是一種映射，作用在函數空間上，輸出該函數的導數。例如：

一階微分算子：$frac{d}{dx}$，作用于函數$f(x)$時，結果為$f'(x)$。
高階微分算子：$frac{d^n}{dx^n}$，表示對函數進行$n$次求導。
多元微分算子：如偏導數算子$frac{partial}{partial x}$，或拉普拉斯算子$ abla = frac{partial}{partial x} + frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z}$。

2. 核心性質

線性性：若$D$為微分算子，則$D(af + bg) = aD(f) + bD(g)$，其中$a,b$為常數，$f,g$為可微函數。
複合運算：微分算子可組合使用，例如$D = D circ D$表示二階導數。
非交換性：微分算子與函數乘法不滿足交換律，即$D(fg) eq fD(g)$。

3. 常見類型

常微分算子：處理單變量函數，如$frac{d}{dx}$。
偏微分算子：處理多變量函數，如梯度$ abla$、散度$ abla cdot$、旋度$ abla times$。
線性與非線性算子：線性算子滿足疊加性（如$frac{d}{dx}$），非線性算子則可能包含函數的高次項（如$f'' + f$）。

4. 應用場景

微分方程：用于描述物理規律，如波動方程$frac{partial u}{partial t} = c abla u$。
量子力學：動量算符$hat{p} = -ihbar frac{d}{dx}$是典型的微分算子。
幾何分析：如曲率計算、流形上的微分運算。

5. 數學抽象

在泛函分析中，微分算子被視為定義在函數空間上的線性映射，其性質（如對稱性、有界性）是研究微分方程解的核心。例如，自伴微分算子在量子力學中對應物理量的可觀測性。

總結來說，微分算子通過“求導”這一操作，将函數映射到其變化率，是連接局部性質與全局行為的重要工具。