橢圓積分英文解釋翻譯、橢圓積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 elliptic integral

分詞翻譯：

橢圓的英語翻譯：

ellipse
【計】 ellipse

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

橢圓積分（Elliptic Integral）是數學分析中一類無法用初等函數表示的積分形式，在物理學、工程學和天體力學領域具有廣泛應用。根據其結構特征可分為三類，分别對應不同應用場景。

一、基本定義與分類橢圓積分通常定義為形如$int R(x, sqrt{P(x)}) , dx$的積分，其中$P(x)$為三次或四次多項式，$R$為有理函數。标準形式包含：

第一類橢圓積分：$F(phi, k) = int_0^phi frac{dtheta}{sqrt{1 - k sintheta}}$，描述單擺運動周期
第二類橢圓積分：$E(phi, k) = int_0^phi sqrt{1 - k sintheta} , dtheta$，用于計算橢圓周長
第三類橢圓積分：$Pi(n; phi, k) = int_0^phi frac{dtheta}{(1 - n sintheta)sqrt{1 - k sintheta}}$，涉及帶參數的橢圓運動

二、曆史發展與現代應用 1826年Legendre建立标準理論體系，後經Jacobi引入橢圓函數理論深化發展。現代應用包括：

電磁學中電容計算（IEEE Transactions on Microwave Theory）
航天器軌道建模（AIAA Journal of Guidance）
非線性彈簧系統分析（ASME機械工程手冊）

三、漢英術語對照 | 中文術語| 英文對照| |-----------------|--------------------------| | 橢圓積分| Elliptic Integral| | 模數| Modulus (k)| | 不完全橢圓積分| Incomplete Elliptic Integral | | 雅可比形式| Jacobian Form|

網絡擴展解釋

橢圓積分是積分學中的一類特殊函數，起源于計算橢圓弧長的問題。由于橢圓周長無法用初等函數表示，這類積分被單獨研究并分為三種類型：

1.第一類橢圓積分

形式為： $$ F(phi, k) = int_0^phi frac{dtheta}{sqrt{1 - k sintheta}} $$

參數意義：$phi$ 是積分上限（角度），$k$ 是模數（$0 leq k < 1$）。
應用：描述單擺的非線性運動或行星軌道問題。

2.第二類橢圓積分

表達式為： $$ E(phi, k) = int_0^phi sqrt{1 - k sintheta} , dtheta $$

特點：直接關聯橢圓弧長。例如，半長軸$a$、半短軸$b$的橢圓周長為 $4aEleft(frac{pi}{2}, sqrt{1 - (b/a)}right)$。

3.第三類橢圓積分

形式更複雜： $$ Pi(n; phi, k) = int_0^phi frac{dtheta}{(1 + n sintheta)sqrt{1 - k sintheta}} $$

額外參數：$n$ 為特征值，常見于電磁場或彈性力學問題。

完全與不完全形式

不完全形式：積分上限$phi < pi/2$。
完全形式：當$phi = pi/2$時，記為$K(k) = F(pi/2, k)$或$E(k) = E(pi/2, k)$，用于對稱性較強的問題。

重要性

橢圓積分無法用初等函數表達，需借助數值計算或特殊函數表。其逆函數（橢圓函數）在複分析和代數幾何中有重要地位，例如描述非線性波動。