求極小值法英文解釋翻譯、求極小值法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 minimizing method; minimizing technique

分詞翻譯：

求的英語翻譯：

beg; entreat; request; seek; try

極小值的英語翻譯：

【計】 minimal value

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

求極小值法（Minimization Method）是數學優化領域的核心方法，指通過系統化步驟尋找函數在定義域内的最小值點及其對應函數值的過程。在漢英詞典中，其對應英文術語為“minimization method”，常與“optimization”（優化）、“extremum”（極值）等概念關聯。

一、數學定義與核心原理

從數學角度，求極小值法的目标函數可表示為：

min{x in S} f(x)

$$

其中( f(x) )為待優化的函數，( S )為可行域（定義域）。該方法通過梯度下降、牛頓疊代等算法逼近局部或全局極小值點。例如，梯度下降法的疊代公式為：

$$

x{k+1} = x_k - alpha abla f(x_k)

其中( alpha )為學習率，( abla f(x) )為梯度。

二、應用領域

求極小值法廣泛應用于工程控制（如PID參數優化）、經濟學模型（成本最小化）及機器學習（損失函數優化）等領域。在信號處理中，最小二乘法通過最小化誤差平方和實現數據拟合，其公式為：

min{beta} sum{i=1}^n (y_i - X_i beta)

三、權威參考來源

數學定義與算法：參見《Numerical Optimization》（Nocedal & Wright, 2006）對疊代收斂性的證明。
工程應用：IEEE期刊論文《Gradient-Based Optimization in Control Systems》分析了極小值法在自動控制中的穩定性。
跨學科案例：Nature子刊《Machine Learning with Minimization Principles》探讨了深度學習中的優化器設計。

（注：引用來源為示例性質，實際引用需根據具體文獻補充有效鍊接。）

網絡擴展解釋

"求極小值法"是數學優化中的核心概念，指尋找函數在定義域内局部或全局最小值的方法。以下從定義、常用方法和應用場景三個層面進行解釋：

一、極小值的定義

數學上，若函數$f(x)$在點$x_0$的某個鄰域内滿足： $$ f(x_0) leq f(x),quad forall x in U(x_0) $$ 則稱$f(x_0)$為局部極小值。若此不等式在整個定義域成立，則為全局極小值。判斷條件包括：

一階導數$f'(x_0)=0$
二階導數$f''(x_0)>0$（單變量情況）
Hessian矩陣正定（多變量情況）

二、常用求解方法

解析法：通過求導直接解方程
- 例：對$f(x)=x+2x+1$，解$f'(x)=2x+2=0$得極小點$x=-1$
梯度下降法
- 疊代公式：$theta_{k+1} = theta_k - eta abla f(theta_k)$
- 適用于高維空間，但可能陷入局部極小
牛頓法
- 利用二階導數信息：$x_{k+1} = x_k - [Hf(x_k)]^{-1} abla f(x_k)$
- 收斂速度快，但需計算Hessian矩陣
拟牛頓法（如BFGS）
- 通過近似Hessian矩陣避免直接計算
- 内存消耗較大但效率較高

三、應用領域

機器學習：損失函數優化（如線性回歸）
經濟學：生産成本最小化
工程：結構強度最優設計
金融：投資組合風險最小化

實際應用中需注意：

初始值選擇影響收斂結果
步長參數需合理設置
非凸函數存在多個局部極小
高維問題可能出現"維度災難"

對于具體問題，需根據函數特性（凸性、可導性、維度等）選擇合適方法。例如凸函數優先選梯度法，非光滑函數可考慮次梯度法或近似算法。