球函數英文解釋翻譯、球函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 spherical harmonics

分詞翻譯：

球的英語翻譯：

ball; globe; orb; sphere; the earth
【醫】 ball; balloon; bulb; bulbi; bulbo-; bulbus; globi; globus; glomera
glomus; orb; sphaer-; sphaero-; sphere; sphero-

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學和物理學中，"球函數"（Spherical Functions）特指在球坐标系下滿足特定微分方程（通常是拉普拉斯方程）的解函數，最核心的代表是球諧函數（Spherical Harmonics）。以下從漢英詞典角度解釋其詳細含義：

一、 核心定義

• 漢語：球函數

  指定義在單位球面上的一組特殊函數，是拉普拉斯算子在球坐标系下角向部分的特征函數。它們在三維空間中具有旋轉對稱性，常用于描述球對稱系統的物理量分布（如電勢、引力場、量子力學中的角動量态）。

• 英語：Spherical Functions / Spherical Harmonics

  A set of special functions defined on the surface of a unit sphere. They are the eigenfunctions of the angular part of the Laplace operator in spherical coordinates. Characterized by rotational symmetry in three-dimensional space, they are fundamental for describing physical quantities in spherically symmetric systems (e.g., electric potential, gravitational fields, angular momentum states in quantum mechanics).

二、 數學表達

球諧函數通常表示為 ( Y_l^m(theta, phi) )，其中：

• ( l ) (整數 ≥ 0)：角量子數/階 (Degree/Order)，決定函數在球面上的振蕩次數和總能量。
• ( m ) (整數, |m| ≤ l)：方位量子數/次階 (Azimuthal Quantum Number/Order)，決定函數繞極軸的振蕩行為。
• ( theta ) (極角, 0 ≤ θ ≤ π)：緯度方向。
• ( ( phi ) (方位角, 0 ≤ φ < 2π)：經度方向。

其标準形式為： $$ Y_l^m(theta, phi) = sqrt{frac{(2l+1)}{4pi} frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(cos theta) e^{imphi} $$ 其中 ( P_l^m ) 是連帶勒讓德函數 (Associated Legendre Polynomials)。

三、 關鍵特性

1. 正交完備性 (Orthogonality and Completeness)：

   不同階次的球諧函數在球面上相互正交，且構成一組完備基，任何定義在球面上的平方可積函數均可展開為球諧函數的級數（球諧分析）。 $$ int0^{2pi} int0^{pi} Y{l}^{m*}(theta,phi) Y{l'}^{m'}(theta,phi) sintheta dtheta dphi = delta{ll'}delta{mm'} $$

2. 旋轉對稱性 (Rotational Symmetry)：

   在三維空間旋轉操作下，固定階數 ( l ) 的所有球諧函數構成一個不變子空間，是旋轉群 SO(3) 的不可約表示。

3. 本征函數性質 (Eigenfunction Property)：

   球諧函數是角動量平方算符 ( hat{L} ) 和角動量 z 分量算符 ( hat{L}_z ) 的共同本征函數： $$ hat{L} Y_l^m = hbar l(l+1) Y_l^m, quad hat{L}_z Y_l^m = hbar m Y_l^m $$

四、 主要應用領域

1. 量子力學 (Quantum Mechanics)：

   描述氫原子等中心力場中電子的角向波函數，表征角動量狀态。

2. 電磁學 (Electromagnetism)：

   求解拉普拉斯方程或泊松方程，分析電荷分布産生的多極矩電勢場。

3. 天體物理學與地球物理學 (Astrophysics & Geophysics)：

   用于行星重力場、地磁場、宇宙微波背景輻射（CMB）的分析和譜表示。

4. 計算機圖形學 (Computer Graphics)：

   用于環境光照建模、法線分布函數表示等。

5. 聲學與信號處理 (Acoustics & Signal Processing)：

   用于球面麥克風陣列信號處理和方向性分析。

參考來源

1. Wolfram MathWorld - Spherical Harmonics: 提供數學定義、性質及公式推導。 https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
2. Wikipedia - Spherical Harmonics: 綜合介紹數學理論、性質與應用場景。 https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
3. University of Cambridge - Mathematical Tripos Part II: 球諧函數在群論與對稱性中的角色講義。 https://www.damtp.cam.ac.uk/user/.../PartII_GroupTheory.pdf
4. MIT OpenCourseWare - Quantum Physics I: 量子力學中角動量與球諧函數課程資料。 https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/
5. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF): 球函數的标準定義與數值計算指南。 https://dlmf.nist.gov/14

網絡擴展解釋

球函數（Spherical Harmonics）是數學和物理學中一類重要的特殊函數，主要用于描述球對稱系統中的物理量或數學問題。以下是其核心要點：

1. 定義與數學形式

球函數是拉普拉斯方程在球坐标系下的角向解，通常用極角（(theta)）和方位角（(phi)）表示。其複數形式的表達式為： $$ Y_l^m(theta, phi) = sqrt{frac{(2l+1)(l-m)!}{4pi(l+m)!}} P_l^m(costheta) e^{imphi} $$ 其中：

• ( l ) 為軌道角動量量子數（非負整數），決定函數的對稱性；
• ( m ) 為磁量子數（取值範圍 (-l leq m leq l)）；
• ( P_l^m ) 是關聯勒讓德多項式。

2. 核心性質

• 正交歸一性：不同 ( l ) 或 ( m ) 的球函數在球面上積分結果為0，相同則為1。
• 完備性：任何球對稱函數均可展開為球諧函數的線性組合。
• 對稱性：具有旋轉對稱性，且在宇稱變換（(theta to pi-theta, phi to phi+pi)）下滿足 ( Y_l^m to (-1)^l Y_l^m )。

3. 應用領域

• 量子力學：描述原子軌道（如s、p、d軌道對應 ( l=0,1,2 )）的角向波函數。
• 地球物理學：分析地球重力場或磁場分布。
• 計算機圖形學：模拟光照和反射（如環境光遮蔽）。
• 電磁學：求解麥克斯韋方程在球坐标下的輻射場。

4. 擴展說明

• 實數形式：實際應用中常将複數球函數轉換為實數形式（如 ( Y{l,m} ) 和 ( Y{l,-m} ) 組合成三角函數形式）。
• 特殊案例：
  • ( l=0 ) 時對應各向同性的s軌道；
  • ( l=1 ) 時對應p軌道（三個方向分量）。

球函數因其對稱性和數學性質，成為解決球對稱問題的核心工具。如需進一步學習，可參考數學物理方法教材或量子力學中的角動量理論部分。

分類

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