球函数英文解释翻译、球函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 spherical harmonics

分词翻译：

球的英语翻译：

ball; globe; orb; sphere; the earth
【医】 ball; balloon; bulb; bulbi; bulbo-; bulbus; globi; globus; glomera
glomus; orb; sphaer-; sphaero-; sphere; sphero-

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在数学和物理学中，"球函数"（Spherical Functions）特指在球坐标系下满足特定微分方程（通常是拉普拉斯方程）的解函数，最核心的代表是球谐函数（Spherical Harmonics）。以下从汉英词典角度解释其详细含义：

一、 核心定义

• 汉语：球函数

  指定义在单位球面上的一组特殊函数，是拉普拉斯算子在球坐标系下角向部分的特征函数。它们在三维空间中具有旋转对称性，常用于描述球对称系统的物理量分布（如电势、引力场、量子力学中的角动量态）。

• 英语：Spherical Functions / Spherical Harmonics

  A set of special functions defined on the surface of a unit sphere. They are the eigenfunctions of the angular part of the Laplace operator in spherical coordinates. Characterized by rotational symmetry in three-dimensional space, they are fundamental for describing physical quantities in spherically symmetric systems (e.g., electric potential, gravitational fields, angular momentum states in quantum mechanics).

二、 数学表达

球谐函数通常表示为 ( Y_l^m(theta, phi) )，其中：

• ( l ) (整数 ≥ 0)：角量子数/阶 (Degree/Order)，决定函数在球面上的振荡次数和总能量。
• ( m ) (整数, |m| ≤ l)：方位量子数/次阶 (Azimuthal Quantum Number/Order)，决定函数绕极轴的振荡行为。
• ( theta ) (极角, 0 ≤ θ ≤ π)：纬度方向。
• ( ( phi ) (方位角, 0 ≤ φ < 2π)：经度方向。

其标准形式为： $$ Y_l^m(theta, phi) = sqrt{frac{(2l+1)}{4pi} frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(cos theta) e^{imphi} $$ 其中 ( P_l^m ) 是连带勒让德函数 (Associated Legendre Polynomials)。

三、 关键特性

1. 正交完备性 (Orthogonality and Completeness)：

   不同阶次的球谐函数在球面上相互正交，且构成一组完备基，任何定义在球面上的平方可积函数均可展开为球谐函数的级数（球谐分析）。 $$ int0^{2pi} int0^{pi} Y{l}^{m*}(theta,phi) Y{l'}^{m'}(theta,phi) sintheta dtheta dphi = delta{ll'}delta{mm'} $$

2. 旋转对称性 (Rotational Symmetry)：

   在三维空间旋转操作下，固定阶数 ( l ) 的所有球谐函数构成一个不变子空间，是旋转群 SO(3) 的不可约表示。

3. 本征函数性质 (Eigenfunction Property)：

   球谐函数是角动量平方算符 ( hat{L} ) 和角动量 z 分量算符 ( hat{L}_z ) 的共同本征函数： $$ hat{L} Y_l^m = hbar l(l+1) Y_l^m, quad hat{L}_z Y_l^m = hbar m Y_l^m $$

四、 主要应用领域

1. 量子力学 (Quantum Mechanics)：

   描述氢原子等中心力场中电子的角向波函数，表征角动量状态。

2. 电磁学 (Electromagnetism)：

   求解拉普拉斯方程或泊松方程，分析电荷分布产生的多极矩电势场。

3. 天体物理学与地球物理学 (Astrophysics & Geophysics)：

   用于行星重力场、地磁场、宇宙微波背景辐射（CMB）的分析和谱表示。

4. 计算机图形学 (Computer Graphics)：

   用于环境光照建模、法线分布函数表示等。

5. 声学与信号处理 (Acoustics & Signal Processing)：

   用于球面麦克风阵列信号处理和方向性分析。

参考来源

1. Wolfram MathWorld - Spherical Harmonics: 提供数学定义、性质及公式推导。 https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
2. Wikipedia - Spherical Harmonics: 综合介绍数学理论、性质与应用场景。 https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
3. University of Cambridge - Mathematical Tripos Part II: 球谐函数在群论与对称性中的角色讲义。 https://www.damtp.cam.ac.uk/user/.../PartII_GroupTheory.pdf
4. MIT OpenCourseWare - Quantum Physics I: 量子力学中角动量与球谐函数课程资料。 https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/
5. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF): 球函数的标准定义与数值计算指南。 https://dlmf.nist.gov/14

网络扩展解释

球函数（Spherical Harmonics）是数学和物理学中一类重要的特殊函数，主要用于描述球对称系统中的物理量或数学问题。以下是其核心要点：

1. 定义与数学形式

球函数是拉普拉斯方程在球坐标系下的角向解，通常用极角（(theta)）和方位角（(phi)）表示。其复数形式的表达式为： $$ Y_l^m(theta, phi) = sqrt{frac{(2l+1)(l-m)!}{4pi(l+m)!}} P_l^m(costheta) e^{imphi} $$ 其中：

• ( l ) 为轨道角动量量子数（非负整数），决定函数的对称性；
• ( m ) 为磁量子数（取值范围 (-l leq m leq l)）；
• ( P_l^m ) 是关联勒让德多项式。

2. 核心性质

• 正交归一性：不同 ( l ) 或 ( m ) 的球函数在球面上积分结果为0，相同则为1。
• 完备性：任何球对称函数均可展开为球谐函数的线性组合。
• 对称性：具有旋转对称性，且在宇称变换（(theta to pi-theta, phi to phi+pi)）下满足 ( Y_l^m to (-1)^l Y_l^m )。

3. 应用领域

• 量子力学：描述原子轨道（如s、p、d轨道对应 ( l=0,1,2 )）的角向波函数。
• 地球物理学：分析地球重力场或磁场分布。
• 计算机图形学：模拟光照和反射（如环境光遮蔽）。
• 电磁学：求解麦克斯韦方程在球坐标下的辐射场。

4. 扩展说明

• 实数形式：实际应用中常将复数球函数转换为实数形式（如 ( Y{l,m} ) 和 ( Y{l,-m} ) 组合成三角函数形式）。
• 特殊案例：
  • ( l=0 ) 时对应各向同性的s轨道；
  • ( l=1 ) 时对应p轨道（三个方向分量）。

球函数因其对称性和数学性质，成为解决球对称问题的核心工具。如需进一步学习，可参考数学物理方法教材或量子力学中的角动量理论部分。

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