齊次線性方程組英文解釋翻譯、齊次線性方程組的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 homogeneous linear equations

分詞翻譯：

齊的英語翻譯：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【醫】 trans-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

線的英語翻譯：

clue; line; string; stringy; thread; tie; verge; wire
【醫】 line; line Of occlusion; linea; lineae; lineae poplitea; mito-; nemato-
soleal line; strand; thread
【經】 line

方程組的英語翻譯：

【計】 equation set

專業解析

齊次線性方程組（homogeneous system of linear equations）是線性代數中的核心概念，指由若幹線性方程構成且常數項均為零的方程組。其标準形式可表示為：

begin{cases}

a_{11}x1 + a{12}x2 + cdots + a{1n}xn = 0

a{21}x1 + a{22}x2 + cdots + a{2n}xn = 0

vdots

a{m1}x1 + a{m2}x2 + cdots + a{mn}x_n = 0

end{cases}

對應的矩陣形式為 *A**x =0，其中A 是系數矩陣，x 是未知數向量，0 是零向量。

關鍵性質與解的結構

平凡解與非平凡解
齊次方程組必定存在零解（即所有未知數取0），稱為平凡解。若系數矩陣的秩小于未知數個數（rank(A) < n），則存在無窮多非零解（非平凡解）。
解空間的維數
非平凡解構成向量空間，其維度為 n - rank(A)，稱為解空間的維數。例如，若 rank(A) = 2 且 n = 3，則解空間是一維直線。
基礎解系與通解
基礎解系是該解空間的一組基，通解可表示為這些基向量的線性組合。例如，若基礎解系為ξ₁,ξ₂，則通解為 k₁ξ₁ + k₂ξ₂（k₁, k₂ ∈ ℝ）。

應用與參考

齊次方程組在工程、物理和計算機圖形學中用于描述平衡狀态或幾何變換的核空間。相關定理如“非平凡解存在性條件”在《線性代數及其應用》（David C. Lay 著）中有詳細推導，MIT OpenCourseWare 也提供了公開課程資料佐證解的結構分析。

網絡擴展解釋

齊次線性方程組是線性代數中的核心概念，其定義為由形如以下方程構成的方程組： $$ a_{11}x1 + a{12}x2 + cdots + a{1n}xn = 0 a{21}x1 + a{22}x2 + cdots + a{2n}xn = 0 vdots a{m1}x1 + a{m2}x2 + cdots + a{mn}x_n = 0 $$ 所有方程的常數項均為零。以下從不同角度詳細解釋其特性：

解的判定
- 必然存在零解（平凡解）：$x_1=x_2=cdots=x_n=0$。
- 存在非零解的條件：當系數矩陣的秩$r$小于未知數個數$n$時，方程組有無限多解。
- 唯一解的情況僅當$r=n$時發生，此時隻有零解。
解的結構
- 所有解構成向量空間，維度為$n-r$。
- 基礎解系是該空間的極大線性無關組，通解可表示為： $$ x = k_1boldsymbol{eta}_1 + k_2boldsymbol{eta}2 + cdots + k{n-r}boldsymbol{eta}_{n-r} $$ 其中$k_i$為任意常數。
矩陣視角
- 寫作矩陣形式$Aboldsymbol{x}=boldsymbol{0}$，其中$A$為系數矩陣。
- 行列式判據：若$A$是方陣且$det(A)=0$，則存在非零解。
應用意義
- 在幾何中對應過原點的超平面交集。
- 在微分方程中對應齊次方程的解空間。
- 為研究非齊次方程組提供基礎，其解集可視為齊次解空間的平移。

該理論體系為現代工程計算（如結構力學平衡分析）、計算機圖形學（齊次坐标變換）等領域提供了數學基礎。