齐次线性方程组英文解释翻译、齐次线性方程组的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 homogeneous linear equations

分词翻译：

齐的英语翻译：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【医】 trans-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

线的英语翻译：

clue; line; string; stringy; thread; tie; verge; wire
【医】 line; line Of occlusion; linea; lineae; lineae poplitea; mito-; nemato-
soleal line; strand; thread
【经】 line

方程组的英语翻译：

【计】 equation set

专业解析

齐次线性方程组（homogeneous system of linear equations）是线性代数中的核心概念，指由若干线性方程构成且常数项均为零的方程组。其标准形式可表示为：

begin{cases}

a_{11}x1 + a{12}x2 + cdots + a{1n}xn = 0

a{21}x1 + a{22}x2 + cdots + a{2n}xn = 0

vdots

a{m1}x1 + a{m2}x2 + cdots + a{mn}x_n = 0

end{cases}

对应的矩阵形式为 *A**x =0，其中A 是系数矩阵，x 是未知数向量，0 是零向量。

关键性质与解的结构

平凡解与非平凡解
齐次方程组必定存在零解（即所有未知数取0），称为平凡解。若系数矩阵的秩小于未知数个数（rank(A) < n），则存在无穷多非零解（非平凡解）。
解空间的维数
非平凡解构成向量空间，其维度为 n - rank(A)，称为解空间的维数。例如，若 rank(A) = 2 且 n = 3，则解空间是一维直线。
基础解系与通解
基础解系是该解空间的一组基，通解可表示为这些基向量的线性组合。例如，若基础解系为ξ₁,ξ₂，则通解为 k₁ξ₁ + k₂ξ₂（k₁, k₂ ∈ ℝ）。

应用与参考

齐次方程组在工程、物理和计算机图形学中用于描述平衡状态或几何变换的核空间。相关定理如“非平凡解存在性条件”在《线性代数及其应用》（David C. Lay 著）中有详细推导，MIT OpenCourseWare 也提供了公开课程资料佐证解的结构分析。

网络扩展解释

齐次线性方程组是线性代数中的核心概念，其定义为由形如以下方程构成的方程组： $$ a_{11}x1 + a{12}x2 + cdots + a{1n}xn = 0 a{21}x1 + a{22}x2 + cdots + a{2n}xn = 0 vdots a{m1}x1 + a{m2}x2 + cdots + a{mn}x_n = 0 $$ 所有方程的常数项均为零。以下从不同角度详细解释其特性：

解的判定
- 必然存在零解（平凡解）：$x_1=x_2=cdots=x_n=0$。
- 存在非零解的条件：当系数矩阵的秩$r$小于未知数个数$n$时，方程组有无限多解。
- 唯一解的情况仅当$r=n$时发生，此时只有零解。
解的结构
- 所有解构成向量空间，维度为$n-r$。
- 基础解系是该空间的极大线性无关组，通解可表示为： $$ x = k_1boldsymbol{eta}_1 + k_2boldsymbol{eta}2 + cdots + k{n-r}boldsymbol{eta}_{n-r} $$ 其中$k_i$为任意常数。
矩阵视角
- 写作矩阵形式$Aboldsymbol{x}=boldsymbol{0}$，其中$A$为系数矩阵。
- 行列式判据：若$A$是方阵且$det(A)=0$，则存在非零解。
应用意义
- 在几何中对应过原点的超平面交集。
- 在微分方程中对应齐次方程的解空间。
- 为研究非齐次方程组提供基础，其解集可视为齐次解空间的平移。

该理论体系为现代工程计算（如结构力学平衡分析）、计算机图形学（齐次坐标变换）等领域提供了数学基础。