雙隨機矩陣英文解釋翻譯、雙隨機矩陣的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯:
【計】 doubly-stochastic matrix
分詞翻譯:
雙的英語翻譯:
both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par
隨機矩陣的英語翻譯:
【計】 stochastic matrix
專業解析
雙隨機矩陣(Doubly Stochastic Matrix)是線性代數與概率論中的核心概念,指同時滿足行隨機性和列隨機性的非負矩陣。其數學定義為:若一個$n times n$矩陣$A=(a_{ij})$滿足以下條件,則稱為雙隨機矩陣:
- 所有元素非負($a_{ij} geq 0$)
- 每行元素和為1($sum{j=1}^n a{ij} = 1$,$forall i$)
- 每列元素和為1($sum{i=1}^n a{ij} = 1$,$forall j$)
數學性質與定理
根據Birkhoff–von Neumann定理,任何雙隨機矩陣均可表示為有限個置換矩陣的凸組合。這一性質在組合優化與量子信息理論中有重要應用,例如在量子态轉換的保序映射研究中被廣泛引用。
應用領域
- 馬爾可夫鍊:雙隨機矩陣可描述狀态轉移概率對稱的離散時間馬爾可夫鍊(參考:MIT線性代數課程講義。
- 經濟學模型:用于描述資源分配中的公平交換機制,如交易市場的均衡狀态分析。
- 圖像處理:在圖像配準算法中,雙隨機矩陣約束可提升特征點匹配的穩定性。
示例
一個典型的雙隨機矩陣為:
$$
begin{bmatrix}
0.5 & 0.5
0.5 & 0.5
end{bmatrix}
$$
其每行與每列的和均為1,且元素非負。
參考文獻來源
- Birkhoff, G. (1946). Three observations on linear algebra.
- Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis.
- MIT OpenCourseWare. Linear Algebra Lecture Notes.
- Von Neumann, J. (1953). A certain zero-sum theorem.
- IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. Image Registration Algorithms.
網絡擴展解釋
雙隨機矩陣(Double Stochastic Matrix)是隨機矩陣的一種特殊類型,具有以下核心特征:
1.定義
雙隨機矩陣是非負矩陣(所有元素≥0),且滿足行和與列和均為1。數學上可表示為:
對于矩陣$A = [a_{ij}]$,滿足:
- $sum{j} a{ij} = 1$(每行和為1)
- $sum{i} a{ij} = 1$(每列和為1)
- $a_{ij} geq 0$(非負性)
2.元素範圍
元素通常屬于區間$$,因為其非負性且和為1的特性與概率分布相關。
3.例子
- 單位矩陣:每行每列僅有一個1,其餘為0,滿足行和與列和為1。
- 均勻矩陣:如$frac{1}{n}$填充的$n times n$矩陣(需驗證行列和)。
4.性質
- 特征值特性:雙隨機矩陣存在特征值1,對應特征向量為全1向量(如$mathbf{e} = (1,1,dots,1)^T$)。
- 對稱性:某些雙隨機矩陣是對稱的(如單位矩陣),但非對稱情況也存在。
5.生成方法
可通過算法構造,例如MATLAB中利用隨機數生成并調整行列和(見參考代碼片段)。
6.應用
- 概率模型:描述馬爾可夫鍊的狀态轉移(雙隨機性對應平衡态)。
- 組合優化:在圖論匹配問題中用于表示概率分配。
- PageRank算法:廣義上與隨機矩陣理論相關。
如需進一步了解生成代碼或具體定理(如Birkhoff–von Neumann定理),可參考數學工具書或專業文獻。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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