jacobian是什麼意思，jacobian的意思翻譯、用法、同義詞、例句
jacobian英标
英:/'dʒə'kəubiən/
常用詞典
n. 雅可比行列式
例句
And, this conversion ratio, the Jacobian, works both ways.
這個轉化率，也就是雅克比，兩種情況下都成立。
The updating equation of image Jacobian matrix is also given.
此外還給出了圖像雅可比矩陣的遞推公式。
Velocity Jacobian matrix and force Jacobian matrix of the PMT are educed.
導出此并聯機床的速度雅克比矩陣和力雅克比矩陣。
According to the Jacobian matrix of mechanism, the singularity of the mechanism was analyzed.
又根據機構的雅克比矩陣，對機構的奇異位形進行了分析。
The changes of the transformer tap have been introduced through correcting the Jacobian matrix.
通過對雅可比矩陣的修正，引入了變壓器變比的變化。
常用搭配
jacobian matrix
雅可比矩陣；[數]導數矩陣
專業解析
雅可比矩陣（Jacobian） 在數學，特别是多變量微積分和向量分析中，是一個核心概念。它本質上是一個由一階偏導數構成的矩陣，描述了向量值函數在其定義域中某一點附近的最佳線性逼近，反映了該函數在該點的局部變化率。
其核心含義和應用可以從以下兩個層面理解：
-
雅可比矩陣（Jacobian Matrix）：
- 定義：對于一個從 n 維空間映射到 m 維空間的向量值函數F(x) = (F₁(x), F₂(x), ..., Fₘ(x))ᵀ，其中x = (x₁, x₂, ..., xₙ)ᵀ，該函數在點p 處的雅可比矩陣JF(p) 是一個 m × n 的矩陣。其第 i 行、第 j 列的元素是函數 Fᵢ 對變量 xⱼ 在點p 處的偏導數：
$$
mathbf{J}{mathbf{F}}(mathbf{p}) = begin{bmatrix}
frac{partial F_1}{partial x_1}(mathbf{p}) & frac{partial F_1}{partial x_2}(mathbf{p}) & cdots & frac{partial F_1}{partial x_n}(mathbf{p})
frac{partial F_2}{partial x_1}(mathbf{p}) & frac{partial F_2}{partial x_2}(mathbf{p}) & cdots & frac{partial F_2}{partial x_n}(mathbf{p})
vdots & vdots & ddots & vdots
frac{partial F_m}{partial x_1}(mathbf{p}) & frac{partial F_m}{partial x_2}(mathbf{p}) & cdots & frac{partial F_m}{partial x_n}(mathbf{p})
end{bmatrix}
$$
- 幾何意義：雅可比矩陣代表了函數F 在點p 附近的線性化（或微分）。它近似描述了當輸入x 在p 附近發生微小變化dx 時，輸出F(x) 的相應變化dF ≈J_F(p)dx。
- 應用：在坐标系變換中（例如從笛卡爾坐标轉換到極坐标），雅可比矩陣描述了局部坐标基向量之間的變換關系，是計算面積元、體積元變化的關鍵。
-
雅可比行列式（Jacobian Determinant）：
- 定義：當向量值函數F 的輸入空間維度和輸出空間維度相等（即 m = n）時，其雅可比矩陣JF(p) 是一個方陣。該方陣的行列式稱為函數F 在點p 處的雅可比行列式，通常記作 det(JF(p)) 或 |∂(F₁, F₂, ..., Fₙ) / ∂(x₁, x₂, ..., xₙ)|。
- 幾何意義：雅可比行列式的絕對值具有重要的幾何解釋。它代表了函數F 在點p 附近進行局部變換時，所引起的體積（或面積）的縮放因子。例如，在二重積分中從 (x, y) 坐标變換到 (u, v) 坐标時，面積元 dA 的變換關系為 dA = |det(J)| du dv。
- 應用：
- 變量變換：多重積分（如面積分、體積分）中進行坐标變換時，雅可比行列式是修正積分區域體積元（或面積元）的必要因子。
- 反函數定理：判斷一個函數在局部是否存在反函數以及該反函數是否可微的重要依據。如果雅可比行列式在某點不為零，則函數在該點局部存在可微的反函數。
- 隱函數定理：在求解由方程組定義的隱函數時，雅可比矩陣及其行列式扮演着核心角色。
雅可比矩陣是描述多變量函數局部線性行為的工具（包含方向和縮放信息），而雅可比行列式（當矩陣為方陣時）則量化了該局部變換對體積（或面積）的縮放程度。兩者在多元微積分、微分幾何、物理建模（如流體力學、連續介質力學）、優化算法、控制理論（如機器人運動學）等領域都有極其廣泛的應用。
參考來源：
- Wikipedia: Jacobian Matrix and Determinant - https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant (提供核心定義、數學表達和基礎應用)
- Paul's Online Math Notes: Change of Variables - https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/changeofvariables.aspx (清晰解釋雅可比行列式在多重積分坐标變換中的幾何意義和應用)
- Wolfram MathWorld: Jacobian - https://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html (精确定義和數學性質)
- MIT OpenCourseWare: Lecture Notes on Multivariable Calculus - https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/ (權威教育資源，涵蓋雅可比在變量變換和反函數定理中的應用)
網絡擴展資料
Jacobian（雅可比）是數學中與多元函數相關的重要概念，主要包含以下兩個層面的含義：
一、Jacobian矩陣
Jacobian矩陣是由一階偏導數組成的矩陣，用于描述向量函數的最佳線性逼近。假設函數$F: mathbb{R}^n to mathbb{R}^m$由$m$個實函數$y_1(x_1,dots,x_n),dots,y_m(x_1,dots,x_n)$構成，其Jacobian矩陣為：
$$
J_F = begin{bmatrix}
frac{partial y_1}{partial x_1} & cdots & frac{partial y_1}{partial x_n}
vdots & ddots & vdots
frac{partial y_m}{partial x_1} & cdots & frac{partial y_m}{partial x_n}
end{bmatrix}
$$
它反映了函數在一點處的局部變化率，類似于單變量函數的導數。
二、Jacobian行列式
Jacobian行列式是Jacobian矩陣對應的行列式，記作$det(J_F)$。其幾何意義是坐标變換時的體積縮放因子，例如在多重積分變量替換中用于調整積分區域的體積微元。
三、應用領域
- 工程與物理：用于機器人運動學分析，描述關節速度與末端執行器速度的關系。
- 優化與機器學習：Hessian矩陣（二階導數矩陣）常與Jacobian結合使用，例如在牛頓法中尋找極值。
- 代數幾何：用于定義代數曲線的雅可比簇，研究曲線性質。
四、其他信息
- 發音：英式音标為[dʒə'kəʊbɪən]，美式音标為[dʒə'koʊbɪən]。
- 命名來源：以19世紀德國數學家卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）命名。
如需更深入的數學推導或具體應用案例，可參考線性代數或多元微積分教材。
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