continued fraction是什麼意思，continued fraction的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

連分數，連分式

Truncating that continued fraction can give you a best rational approximation.

截斷，連分數可以給你一個最佳有理逼近。

N-joint continued fraction algorithm is a practical method for one dimensional research.

n節連分式算法是一個實用的一維搜索方法。

Using Laplace transforms and a continued fraction method, the distribution of buffer content is achieved.

運用拉氏變換和連分數的方法求得了緩沖器容量的穩态分布。

In this paper, a kind of accelerating convergence factors are obtained for limit periodic continued fraction.

本文獲得了一類極限循環連分式的加速收斂因子，證明了它們具有良好的加速收斂性質。

Since you often won't get numbers which exactly match the desired ratio, you could do a continued fraction expansion of their quotient.

因為你往往不會得到數完全正确比賽所需的比例，你可以做一個連分數他們的商展開。

連分數（Continued Fraction）是一種用整數序列表示實數的方法，其核心思想是通過嵌套分數形式逼近一個實數。其标準形式為：

$$ a_0 + cfrac{b_1}{a_1 + cfrac{b_2}{a_2 + cfrac{b_3}{a_3 + cdots}}} $$

其中 $a_0$ 為整數，$a_1, a_2, a_3, ldots$ 和 $b_1, b_2, b_3, ldots$ 為正整數。最常見的是簡單連分數（Simple Continued Fraction），此時所有 $b_i = 1$，形式簡化為：

$$ a_0 + cfrac{1}{a_1 + cfrac{1}{a_2 + cfrac{1}{a_3 + cdots}}} $$

無理數的最佳逼近
連分數提供了一種最優的有理數逼近方式。對于無理數（如 $sqrt{2}$、黃金分割比 $phi$），其連分數展開是無限的，而截斷連分數産生的收斂子（Convergents）是所有同分母有理數中最接近該無理數的近似值。例如：
- $sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, ldots]$，收斂子為 $1, frac{3}{2}, frac{7}{5}, frac{17}{12}, ldots$
- $pi = [3; 7, 15, 1, 292, ldots]$，收斂子包括 $frac{22}{7}$（祖沖之約率）、$frac{355}{113}$（密率）。
有限連分數與有理數
若一個數的連分數展開有限，則該數必為有理數。例如： $$ frac{17}{10} = 1 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{3}} = [1; 1, 3] $$
周期性與二次無理數
二次無理數（如 $sqrt{n}$）的連分數展開具有周期性。例如： $$ sqrt{3} = [1; overline{1, 2}], quad phi = frac{1+sqrt{5}}{2} = [1; overline{1}] $$ 這一特性由拉格朗日定理證明：二次無理數的連分數必循環。
應用領域
- 數論：解決佩爾方程（Pell's Equation）$x - ny = pm 1$，其解由 $sqrt{n}$ 的連分數收斂子給出。
- 數值計算：高效設計高精度有理數逼近算法，減少浮點運算誤差。
- 密碼學：基于連分數的公鑰加密方案設計。
- 動力學系統：描述混沌映射的軌道特性。

《連分數》（Springer數學百科全書）
系統闡述連分數的收斂性定理及在丢番圖逼近中的應用。

Springer Link: Continued Fractions
《數論導引》（G. H. Hardy 著）
經典教材第10章詳細分析連分數與無理數逼近的理論基礎。

Cambridge University Press
Wolfram MathWorld
提供連分數的交互式計算工具及可視化案例。

MathWorld: Continued Fraction
《計算機程式設計藝術》卷2（高德納著）
論述連分數在數值分析中的算法實現與優化策略。

Addison-Wesley
維基百科"連分數"條目
涵蓋曆史發展、基本性質及現代應用，附參考文獻索引。

Wikipedia: Continued Fraction

Continued Fraction（連分數）是數學中表示實數的一種特殊方式，其形式為逐步嵌套的分數結構。以下是詳細解釋：

連分數的一般表達式為：
$$ a_0 + cfrac{1}{a_1 + cfrac{1}{a_2 + cfrac{1}{a_3 + ddots}}} $$
其中：

簡單連分數（Simple Continued Fraction）：所有分子均為1，如上述表達式。
廣義連分數（Generalized Continued Fraction）：分子或分母可包含其他數或變量，例如：
$$ b_0 + cfrac{c_1}{b_1 + cfrac{c_2}{b_2 + cfrac{c_3}{b_3 + ddots}}} $$

有限連分數：終止于某一項，表示有理數。例如：(1 + frac{1}{2} = frac{3}{2})。
無限連分數：無限延伸，表示無理數。例如黃金分割比 (phi = 1 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{1 + cfrac{1}{1 + ddots}}})。

連分數提供了一種比小數展開更深刻的數的表示方法，能夠揭示數論性質與逼近特性。對于數學研究、密碼學等領域有重要價值。