[數] 代數拓撲
Algebraic topology is the study of the global properties of Spaces by means of algebra.
代數學的拓撲是透過代數空間的全球特性的研究。
Algebraic Topology; Symplectic Geometry and Topology; Ordinary and Partial Differential Equations.
代數拓撲；辛幾何與拓撲；常微分和偏微分方程。
Some more advanced algebraic topology may also be useful as might some knowledge of category theory.
更深入的代數拓撲學以及範疇理論的知識将有更大的幫助。
Homeomorphic morphism and homotopy equivalence are two important concepts in the theory of algebraic topology.
同胚映射和同倫等價是代數拓撲學中的兩個重要概念。
Knowledge of elementary algebraic topology and elementary differential geometry is recommended, but not required.
建議事先知道一些關于代數拓撲和微分幾何的基本知識，但不是必需的。
代數拓撲（Algebraic Topology）是數學中的一個重要分支，旨在通過代數工具研究拓撲空間的本質性質。其核心思想是将複雜的幾何或拓撲問題轉化為代數問題，從而利用代數結構的特性進行分類和分析。以下是關鍵點解釋：
代數拓撲的主要任務是找到拓撲空間的代數不變量，即用代數結構（如群、環、模等）來刻畫空間的拓撲性質。這些不變量能幫助區分不同“形狀”的空間，即使它們在幾何上看似差異不大。
同調群（Homology Groups）
通過分析空間中“洞”的結構（如孔洞、隧道等）定義代數群。例如，球面和一維環面（甜甜圈表面）的同調群不同，從而能被區分。
同倫群（Homotopy Groups）
研究空間中閉合路徑（環路）的連續變形。基本群（π₁）是最著名的例子，例如圓的基本群是整數群ℤ，而球面的基本群是平凡的（僅含單位元）。
上同調（Cohomology）
與同調對偶，但額外具備乘法結構，在物理學（如規範場論）和幾何中有廣泛應用。
函子（Functor）
将拓撲空間映射到代數結構的函子，如将空間X映射到其同調群Hₙ(X)。這保證了拓撲空間的連續映射對應代數的同态。
分類定理
如龐加萊猜想（三維單連通閉流形同胚于三維球面）的證明中，代數拓撲工具發揮了關鍵作用。
代數拓撲通過将拓撲問題“翻譯”為代數問題，揭示了空間深層的結構規律，成為現代數學與理論科學的重要工具。其方法既抽象又普適，適用于從純數學到實際應用的廣泛領域。
在代數和拓撲學中，有很多特定的術語和詞彙。以下是關于“代數拓撲學”中兩個重要詞彙的詳細解釋。
代數（algebraic）是一個形容詞，用于描述與代數有關的事物。代數是一個數學分支，主要研究數字和符號的關系，包括代數方程式、組合式、多項式等。
代數的（algebraic）意義是“與代數有關的”，用于修飾代數學中的概念或對象。例如，代數方程式（algebraic equations）指的是包含未知數和常數的方程式，而代數拓撲學（algebraic topology）則是指将代數方法應用到拓撲學中的研究領域。
與代數的意思相近的詞彙包括代數性（algebraicity）、代數的性質（algebraicity）、代數的特性（algebraicness）等。
與代數的意思相反的詞彙包括非代數的（non-algebraic）、幾何的（geometric）等。
拓撲學（topology）是一個名詞，用于描述空間形狀和連通性等性質。拓撲學是一個數學分支，主要研究空間形狀和結構，包括連續映射、同倫等。
拓撲學的（topological）意義是“與拓撲學有關的”，用于修飾拓撲學中的概念或對象。例如，拓撲空間（topological space）指的是一個集合和一個滿足一定公理的拓撲結構組成的數學對象，而拓撲不變量（topological invariant）則是指在拓撲變形下不變的性質。
與拓撲學的意思相近的詞彙包括拓撲的（topologic）、拓撲性（topologicality）、拓撲的特性（topologicness）等。
與拓撲學的意思相反的詞彙包括非拓撲的（non-topological）、代數的（algebraic）等。
【别人正在浏覽】